강의노트 대칭 좌표법의 정의

$a$ 는 무엇인가?

$a\,$는 다음과 같이 크기가 $1\,$이고 위상각이 $120^{\circ}$인 복소수입니다.

$$a = 1 \phase { 120^{\circ}} = -\dfrac{1}{2}+ j\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$

아래 그림은 $a\,$를 연속적으로 곱하여 나타나는 복소수를 복소 평면에 도시한 것입니다. 그림에서 보듯이 $a \,$를 다른 임의의 복소수에 곱하게 되면 회전 연산자처럼 동작하여 곱해지는 복소수의 크기는 변하지 않고 반시계방향으로 $120^{\circ}$회전하게 됩니다.

$$\boxed{ \begin{align*} a \, \, &= -\frac{1}{2} + j \frac{\sqrt 3}{2} = e^{j\frac{2}{3}\pi} \\[1.25ex] a^2 &= -\frac{1}{2} - j \frac{\sqrt 3}{2} = e^{-j\frac{2}{3}\pi} \\[2.5ex] a^3 &= 1 \end{align*} }$$

$a\,$는 다음과 같은 특징을 가지는 복소수입니다.

$$a^2 + a + 1 = 0$$

정상분

정상분은 서로 크기가 같으며 $120 ^\circ$ 씩 간격을 두고 배치되어 대칭을 이룹니다. 따라서 각 상의 페이서들은 평형 상태에 있습니다. 상 순서는 $a \Rightarrow b \Rightarrow c$ 입니다.

위의 그림에서 보듯이 $b \,$상과 $c \,$상의 페이서 $\mathbf I_{b}^{1}$ , $\mathbf I_{c}^{1}$은 $a \,$상의 값으로부터 회전 변환을 일으키는 복소수인 $a \,$를 곱함으로써 구할 수 있습니다.

$$\tag{1} \begin{align*} \mathbf I_{b}^{1} &= a^2 \mathbf I_{a}^{1} \\[1ex] \mathbf I_{c}^{1} &= a \mathbf I_{a}^{1} \end{align*}$$

역상분

역상분도 서로 크기가 같으며 $120 ^\circ$ 씩 간격을 두고 배치되어 대칭을 이룹니다. 따라서 각 상의 페이서들은 평형 상태에 있습니다. 그러나 역상분의 상 순서는 $a \Rightarrow c \Rightarrow b$ 입니다.

역상분도 정상분과 동일하게 $b \,$상과 $c \,$상의 페이서 $\mathbf I_{b}^{1}$ , $\mathbf I_{c}^{1}$은 $a \,$상의 값으로부터 회전 변환을 일으키는 복소수인 $a \,$를 곱함으로써 구할 수 있습니다.

$$\tag{2} \begin{align*} \mathbf I_{b}^{2} &= a \mathbf I_{a}^{2} \\[1ex] \mathbf I_{c}^{2} &= a^2 \mathbf I_{a}^{2} \end{align*}$$

영상분

영상분은 서로 크기과 동일하고 위상까지도 동일하므로 서로 완전히 겹쳐집니다. 아래 그림에서는 편의상 서로 띄어서 보였습니다.

각 상의 값은 완전히 동일하며 상 기호를 제외하고 $\mathbf I_0$로 표시합니다.

$$\tag{3} \mathbf I_{a}^{0}= \mathbf I_{b}^{0}= \mathbf I_{c}^{0} = \mathbf I_0$$

대칭좌표법의 정의

앞에서 보았듯이 임의의 페이서 3개를 아홉 개의 대칭 요소로 다음과 같이 나타낼 수 있다는 것이 대칭 좌표법의 기본 가정입니다.

$$\tag{4} \begin{align*} \mathbf I_{a}&= \mathbf I_{a}^{0}+ \mathbf I_{a}^{1}+ \mathbf I_{a}^{2}\\ \mathbf I_{b}&= \mathbf I_{b}^{0}+ \mathbf I_{b}^{1}+ \mathbf I_{b}^{2}\\ \mathbf I_{c}&= \mathbf I_{c}^{0}+ \mathbf I_{c}^{1}+ \mathbf I_{c}^{2}\\ \end{align*}$$

식에서 위첨자 $\color{red} 0 \,$는 영상분 요소 (Zero Sequence Set), 위첨자 $\color{red} 1 \,$은 정상분 요소(Positive Sequence Set), 그리고 위첨자 $\color{red} 2 \,$는 역상분 요소(Negative Sequence Set)를 의미합니다.

$$\tag{5} \begin{align*} \mathbf I_a &= \mathbf I_a^0+ \mathbf I_a^1 + \mathbf I_a^2 \\ \mathbf I_b &= \mathbf I_a^0+ a^2 \mathbf I_a^1 + a \mathbf I_a^2 \\ \mathbf I_c &= \mathbf I_a^0+ a \mathbf I_a^1 + a^2 \mathbf I_a^2 \\ \end{align*}$$

식$(5)$의 모든 기호에 $a \,$상 기호가 포함되므로 상 기호를 생략하고 위첨자를 아래 첨자로 변경하면 식$(5)$는 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{6} \begin{align*} \mathbf I_a &= \mathbf I_0+ \mathbf I_1 + \mathbf I_2 \\ \mathbf I_b &= \mathbf I_0+ a^2 \mathbf I_1 + a \mathbf I_2 \\ \mathbf I_c &= \mathbf I_0+ a \mathbf I_1 + a^2 \mathbf I_2 \\ \end{align*}$$

식$(6)$을 행렬 벡터 형태로 작성하면 다음과 같습니다.

$$\tag{7} \left[\begin{matrix}\mathbf I_{a} \\ \mathbf I_{b}\\ \mathbf I_{c}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^{2} & a \\ 1 & a & a^{2} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\mathbf I_{0} \\ \mathbf I_{1} \\ \mathbf I_{2} \end{matrix}\right]$$

식$(7)$을 역행렬을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{8} \left[\begin{matrix}\mathbf I_{0} \\ \mathbf I_{1} \\ \mathbf I_{2} \end{matrix}\right] = \frac{1}{3} \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & a^{2} & a \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\mathbf I_{a} \\ \mathbf I_{b}\\ \mathbf I_{c}\end{matrix}\right]$$

식$(8)$로부터 상전류로부터 대칭분 전류를 알려면 다음 식을 이용할 수 있습니다.

$$\tag{9} \begin{align*} \mathbf I_{0} &= \frac{1}{3}\left( \mathbf I_{a} + \mathbf I_{b} + \mathbf I_{c} \right) \\ \mathbf I_{1} &= \frac{1}{3}\left( \mathbf I_{a}+ a \mathbf I_{b} + a^2 \mathbf I_{c} \right) \\ \mathbf I_{2} &= \frac{1}{3}\left( \mathbf I_{a} + a^2 \mathbf I_{b} + a \mathbf I_{c} \right) \\ \end{align*}$$