문제 전선의 이도

전선이 지지물에서 떨어지기 이전과 이후의 전선의 길이는 동일하다는 점에 착안합니다. 즉, 떨어지기 이전과 이후의 전선의 길이를 각각 $L_1$, $L_2$라고 하면 다음 조건을 만족합니다.

$$\tag{1} 2L_1 = L_2$$

전선이 지지물에서 떨어지기 이전과 이후의 경간을 $S_1$, $S_2$라고 하면, 전선이 떨어진 다음에는 경간이 $2$배가 되므로 다음 조건을 만족합니다.

$$\tag{2} 2S_1 = S_2$$

전선의 길이는 다음과 같은 식으로 표현됩니다.

$$\tag{3} L = S + \frac{8D^2}{3S}$$

전선이 지지물로부터 떨어지기 이전과 이후의 이도를 $D_1$, $D_2$라고 하고, 식 $(1)$에 식 $(3)$의 식을 적용하면 식$(1)$은 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{4} 2 \! \left( \! S_1 + \frac{8D_1^2}{3S_1} \right) = S_2 + \frac{8D_2^2}{3S_2}$$

위의 식 $(2)$에서 $S_1=S$ 라고 하면 $S_2 = 2S$ 이므로 이를 식 $(4)$에 적용하면 다음과 같은 관계를 얻습니다.

$$\tag{5} 2\left( S + \frac{8D_1^2}{3S} \right) = 2S + \frac{8D_2^2}{6S}$$

식 $(5)$를 정리하면 다음과 같습니다.

$$\tag{6} \frac{16D_1^2}{3S} =\frac{8D_2^2}{6S}$$

식 $(6)$을 정리하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{7} D_2^2 = 4 D_1^2$$

식 $(7)$을 다시 정리하면 다음과 같은 결과를 구할 수 있습니다.

$$\tag{8} D_2 = 2 D_1$$