강의노트 단거리 송전 선로의 전력 전송 특성 해석을 위한 간략화 모델

단거리 송전 선로의 특성 해석을 위한 송전 선로 모델

다음과 같은 단거리 송전 선로에서의 송전 전력과 수전 전력에 대하여 알아봅니다.

단거리 송전 선로에서 선로의 직렬 리액턴스 $X$는 통상 저항 $R \,$보다 휠씬 큰 값을 가집니다. 따라서 송전선로의 저항을 무시하고$(R = 0)$, 직렬 리액턴스 성분만 존재한다고 가정하여도 큰 오차를 가져오지 않습니다. 따라서 이를 반영한 단거리 송전 선로의 임피던스는 다음과 같습니다.

$$\tag{1} \mathbf{Z} = j X$$

이러한 송전 선로를 무손실 선로라고 하며 위의 단거리 송전 선로 모델은 다음 그림과 같은 모델이 됩니다.

위와 같은 모델에서의 송전 전력과 수전 전력에 대하여 알아 보겠습니다.

송전 전력

단거리 송전 선로의 송전 전력(송전단에서 수전단으로 보내주는 전력)은 다음 식으로 표현됩니다.

$$\tag{2} \mathbf{S_S} = \dfrac{ V_S ^2}{ Z }e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{ V_S V_R }{ Z } \,e^{j\theta_{Z}}e^{j\delta}$$

식$(1)$에서 리액턴스 성분만 존재하므로 선로 임피던스는 다음 식이 성립합니다.

$$\phase{ \mathbf{Z}} =\theta_{Z} = \frac{\pi}{2}$$

따라서 다음 조건을 만족합니다.

$$\tag{3} e^{j\theta_{Z}} = e^{j \frac{\pi}{2}}= j$$

식$(3)$을 식$(2)$에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{4} \mathbf{S_S} = j \dfrac{ V_S^2}{X} - j \dfrac{ V_S V_R }{X} e^{j\delta}$$

다음 관계식은 오일러 공식입니다.

$$\tag{5} e^{j \delta} = \cos \delta + j\, \sin \delta$$

식$(4)$에 위의 오일러 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

$$\mathbf{S_S} = j \dfrac{V_S^2}{X} - j \dfrac{ V_S V_R }{X} ( \cos \delta + j\, \sin \delta )$$

위 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$$\mathbf{S_S} = \dfrac{ V_S V_R }{X} \sin \delta + j \left ( \dfrac{ V_S^2}{X} - \dfrac{ V_S V_R }{X} \cos \delta \right )$$

위 식에서 복소 전력은 다음과 같이 표현됩니다.

$$\mathbf{S_S} = P_S + j Q_S$$

따라서 송전 유효 전력은 다음과 같습니다.

$$\color{red} P_S = \dfrac{ V_S V_R }{X} \sin\delta$$

그리고 송전 무효 전력은 다음과 같습니다.

$$\color{red} Q_{S} = \dfrac{V_S^2}{X}- \dfrac{ V_S V_R }{X} \cos\delta$$

수전 전력

단거리 송전 선로의 수전 전력(수전단에서 받는 전력)도 송전 전력과 동일한 방법으로 구할 수 있습니다. 앞서 복소 수전 전력은 다음과 같이 표현된다는 것을 알아 보았습니다.

아래 식에서 수전단에서 받는 복소 전력은 $- \mathbf{S_R}$ 입니다.

$$- \mathbf{S_R} = - \dfrac{ V_R^2}{ Z }e^{j\theta_{Z}} + \dfrac{ V_{S} V_{R} }{ Z }e^{j\theta_{Z}}e^{-j\delta}$$

앞과 동일한 방법을 통하여 수전 유효 전력을 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\color{red} - P_R = \dfrac{ V_S V_R }{X} \sin\delta$$

수전 무효 전력도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\color{red} - Q_{R} = - \dfrac{V_R^2}{X} + \dfrac{ V_S V_R }{X} \cos\delta$$