문제 대칭 좌표법을 이용한 고장 계산

발전기의 각 대칭분 회로는 다음과 같습니다.

영상분 회로

$$\mathbf{V}_0 = - \mathbf{I}_0 \, \mathbf{Z}_0$$

정상분 회로

$$\mathbf{V}_1 = \mathbf{E}_a - \mathbf{I}_1 \, \mathbf{Z}_1$$

역상분 회로

$$\mathbf{V}_2 = - \mathbf{I}_2 \, \mathbf{Z}_2$$

대칭 좌표의 정의에서 상전류와 대칭분 전류의 다음 관계식을 이용합니다.

$$\tag{1} \left[\begin{matrix} \mathbf{I}_0 \\ \mathbf{I}_1 \\ \mathbf{I}_2 \end{matrix}\right] = \frac{1}{3} \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & a^{2} & a \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \mathbf{I}_a \\ \mathbf{I}_b \\ \mathbf{I}_c \end{matrix}\right]$$

1선 지락 사고의 조건은 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \color{blue} \mathbf{I}_b = \mathbf{I}_c = 0 \;, \;\; \mathbf{V}_a = 0$$

위의 1선 지락 사고의 조건 식$(2)$를 위의 식$(1)$에 적용합니다.

$$\tag{3} \left[\begin{matrix} \mathbf{I}_0 \\ \mathbf{I}_1 \\ \mathbf{I}_2 \end{matrix}\right] = \frac{1}{3} \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & a^{2} & a \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \mathbf{I}_a \\ 0\\ 0 \end{matrix}\right]$$

식$(3)$을 정리하면 다음과 같은 전류 조건을 얻습니다.

$$\tag{4} \mathbf{I}_0 = \mathbf{I}_1 = \mathbf{I}_2 = \frac{1}{3}\,\mathbf{I}_a$$

전압 조건은 다음과 같습니다.

$$\tag{5} \mathbf{V}_a = \mathbf{V}_0 + \mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2 = 0$$

앞의 전류 조건 식$(4)$와 전압 조건 식$(5)$를 같이 적용하면 아래 회로와 같은 대칭분 회로를 구할 수 있습니다.

위의 회로로부터 다음을 알 수 있습니다.

$$\mathbf{I}_0 = \mathbf{I}_1 = \mathbf{I}_2 = \frac{1}{3}\,\mathbf{I}_a = \frac{\mathbf{E}_a}{\mathbf{Z}_0+\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}$$

따라서 지락 전류 $\mathbf{I}_a$는 다음과 같습니다.

$$\mathbf{I}_a = \frac{3\,\mathbf{E}_a}{\mathbf{Z}_0+\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}$$