강의노트 중성점의 잔류 전압

개요

중성점을 접지하지 않았을 경우 중성점과 대지 사이에 나타나게 될 전위를 중성점 잔류 전압 이라고 합니다. 3상 평형이 유지되는 경우 중성점 잔류 전압은 0이 되어야 합니다. 그런데, 선로의 연가가 불충분한 경우 각상 대지 정전 용량의 불평형에 의해 중성점 잔류 전압이 발생하게 됩니다.

중성점 잔류 전압의 유도

아래 그림을 참조하세요. 아래 그림에서 $E_n$은 중성점 잔류 전압을 의미하고, $C_a$, $C_b$, $C_c$는 각상의 대지 정전 용량을 의미합니다.

각 상의 대지 충전 전류는 다음과 같습니다.

$$\tag{1} \begin{align*} \mathbf I_a &= j\omega C_a(\mathbf E_a + \mathbf E_n) \\ \mathbf I_b &= j\omega C_b(\mathbf E_b + \mathbf E_n) \\ \mathbf I_c &= j\omega C_c(\mathbf E_c + \mathbf E_n) \end{align*}$$

중성점이 비접지이므로 다음 조건을 만족합니다.

$$\tag{2} \mathbf I_a + \mathbf I_b + \mathbf I_c = 0$$

위의 식을 적용하면

$$j\omega C_a (\mathbf E_a + \mathbf E_n) + j\omega C_b (\mathbf E_b + \mathbf E_n) + j\omega C_c (\mathbf E_c + \mathbf E_n) = 0$$

정리하면

$$j\omega ( C_a \mathbf E_a + C_b \mathbf E_b + C_c \mathbf E_c ) + j\omega ( C_a + C_b + C_c )\mathbf E_n = 0$$

$\mathbf E_n$에 관하여 정리하면

$$\tag{3} \mathbf E_n = - \frac{ C_a \mathbf E_a + C_b \mathbf E_b + C_c \mathbf E_c }{ C_a + C_b + C_c }$$

$\mathbf E_a = \mathbf E$라 하면 $\mathbf E_b$는 다음과 같습니다.

$$\mathbf E_b = a^2 \mathbf E_a = a^2 \mathbf E = \left( -\frac{1}{2}- j \frac{\sqrt 3}{2} \right) \mathbf E$$

그리고 $\mathbf E_c$는 다음과 같습니다.

$$\mathbf E_c = a \mathbf E_a = a \mathbf E = \left( -\frac{1}{2} + j \frac{\sqrt 3}{2} \right) \mathbf E$$

$\mathbf E_a$, $\mathbf E_b$, $\mathbf E_c$를 식$(3)$의 분자에 대입하면

$$C_a \mathbf E_a + C_b \mathbf E_b + C_c \mathbf E_c = \Big( C_a - \frac{1}{2}C_b - \frac{1}{2}C_c + j\frac{\sqrt 3}{2} ( C_c - C_b ) \Big) \mathbf E$$

위 식에서

$$| C_a \mathbf E_a + C_b \mathbf E_b + C_c \mathbf E_c | = \sqrt{ \left( C_a - \frac{1}{2}C_b - \frac{1}{2}C_c \right)^2 + \frac{3}{4}\left(C_c - C_b \right)^2 } \,\, E$$

따라서 중성점 잔류 전압 $E_n$은 다음과 같습니다.

$$\color{red} E_n = | \mathbf E_n | = \frac{ \sqrt{ C_a(C_a-C_b) + C_b(C_b-C_c) + C_c(C_c-C_a)}}{ C_a + C_b + C_c } \,\, E$$

위 식에서 $E$는 상전압임에 유의합니다. 즉, 선간 전압을 $V$ 라고 하면 다음과 같습니다.

$$E=\frac{V}{\sqrt 3}$$

연가가 충분하게 되면 각 상의 대지 정전 용량이 평형이 됩니다. 즉, $C_a = C_b = C_c$이면 위 식에 의해 중성점 잔류 전압은 $0$ 이 됩니다.