Problem 파동 임피던스

선로의 인덕턴스$([\mathrm{mH/km}])$는 다음과 같습니다.

$$\color{red} \tag{1} L = 0.05 + 0.4605\,\log_{10} \frac{D}{r} \,[\mathrm{mH/km}]$$

식$(1)$에서 앞의 상수항은 뒤의 항에 비하여 크기가 작으므로 무시할 수 있습니다. 이 상수항을 무시하면 다음과 같은 관계를 얻습니다.

$$\tag{2} L \simeq 0.4605\,\log_{10} \frac{D}{r} \,[\mathrm{mH/km}]$$

선로의 작용 정전 용량$([\mu\mathrm{F/km}])$는 다음과 같습니다.

$$\color{red} \tag{3} C = \frac{0.02413}{\log_{10}\dfrac{D}{r}} \,\,[\mathrm{\mu F/km}]$$

문제에서 주어진 파동임피던스가 양의 실수이므로 무손실선로라고 생각할 수 있습니다. 무손실 선로의 파동 임피던스의 정의는 다음과 같습니다.

$$\tag{4} Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}$$

앞에서 가정한 인덕턴스의 식$(2)$와 작용 정전용량의 식$(3)$을 식$(4)$에 대입하면 다음 결과를 얻습니다.

$$\tag{5} \begin{align*} Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} &= \sqrt{ \dfrac{0.4605\,\log_{10} \dfrac{D}{r}\times 10^{-3}}{\dfrac{0.02413}{\log_{10}\dfrac{D}{r}}\times 10^{-6}} } \\[9ex] &= \sqrt{\frac{0.4605}{0.02413}\times 10^3}\, \log_{10}\frac{D}{r} \\[2ex] & = 138\log_{10}\frac{D}{r} \end{align*}$$

문제에서 $Z_0 = 500 [\Omega]$ 이므로 이를 식$(5)$에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{6} 138\log_{10}\frac{D}{r} = 500$$

정리하면 다음을 얻을 수 있습니다.

$$\tag{7} \log_{10}\frac{D}{r} = \frac{500}{138} = 3.62$$

식$(7)$의 결과를 식$(2)$에 적용하면 선로의 인덕턴스는 다음과 같습니다.

$$\begin{align*} L &= 0.4605\,\log_{10} \frac{D}{r} \\[2ex] &= 0.4605 \times 3.62 = 1.67\,[\mathrm{mH/km}] \end{align*}$$

선로의 작용 정전 용량은 다음과 같습니다.

$$\begin{align*} C &= \frac{0.02413}{\log_{10}\dfrac{D}{r}} \\[6ex] &= \frac{0.02413}{3.62} = 0.0067 \,\,[\mathrm{\mu F/km}] \end{align*}$$