Lecture 4단자 정수

4단자망 회로

수동 소자로 구성된 4개의 단자 혹은 2개의 단자쌍을 가진 회로망을 4단자 회로망 혹은 2단자쌍 회로망(two-port)라고 합니다. 아래 그림에 4단자 회로망을 나타내었습니다. 회로의 왼쪽을 송전단(Sending End)이라고 하고, 오른쪽을 수전단(Recieving End)이라고 합니다.

위 그림과 같은 4단자망 회로에서 송전단 전압과 전류는각각 $V_{S}$와 $I_{S}$이고, 수전단 전압과 전류는 $V_{R}$과 $I_{R}$로 나타냅니다. 수전단 전류의 방향에 유의합니다.

4단자 정수

위 회로의 송전단과 수전단의 전압, 전류 관계는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\tag{1} \begin{align*} V_{S} &= AV_{R}+ B I_{R} \\ I_{S} &= C V_{R}+ D I_{R} \end{align*}$$

식$(1)$을 행렬 형태로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\color{red} \tag{2} \begin{bmatrix} V_{S}\\ I_{S}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B \\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_{R}\\ I_{R} \end{bmatrix}$$

위 식에서의 행렬을 전송 행렬(Transmission Matrix)이라고 하며, 각 파라미터 $A$, $B$, $C$, $D$ 를 4단자 정수 혹은 4단자 파라미터라고 합니다.

$$\color{red} \tag{3} \mathbb{T}=\begin{bmatrix}A&B \\C&D\end{bmatrix}$$

전송 행렬의 특성은 다음과 같이 행렬식의 값이 항상 $1$ 이라는 것입니다. 즉,

$$\tag{4} \det \mathbb{T}= A D - B C = 1$$

또 다른 중요한 특성은 다음과 같은 특성이 있습니다.

$$\tag{5} A=D$$

4단자 회로망의 다른 표시 방법

4단자 정수를 회로망에 직접 다음 그림과 같이 표시하여 4단자 정수 회로를 나타낼 수 있습니다.

혹은 다음 그림과 같이 간략히 단선도로 표시하기도 합니다.

4단자망 회로의 직렬 연결

다음 그림과 같이 2개의 4단자 회로망을 직렬로 연결하였을 경우에 대하여 알아봅니다.

왼쪽 회로망의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\tag{6} \begin{bmatrix}V_{S}\\ I_{S}\end{bmatrix}= \mathbb{T_1}\begin{bmatrix}V_M\\ I_M\end{bmatrix}$$

오른쪽 회로망의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\tag{7} \begin{bmatrix}V_M\\ I_M\end{bmatrix}= \mathbb{T_2}\begin{bmatrix}V_{R}\\ I_{R}\end{bmatrix}$$

각각의 회로망의 전송 행렬은 다음과 같습니다.

$$\tag{8} \begin{align*} \mathbb{T_1}=\begin{bmatrix}A_1& B_1\\ C_1& D_1\end{bmatrix} \\ \mathbb{T_2}=\begin{bmatrix}A_2& B_2\\ C_2& D_2\end{bmatrix} \end{align*}$$

위 식으로부터

$$\tag{9} \begin{bmatrix}V_{S}\\ I_{R}\end{bmatrix} = \mathbb{T_1}\begin{bmatrix}V_M\\ I_M \end{bmatrix} = \mathbb{T_1}\mathbb{T_2}\begin{bmatrix}V_{R}\\ I_{R}\end{bmatrix}$$

위 식에서 다음과 같이 정의하면

$$\tag{10} \mathbb{T} = \mathbb{T_1}\mathbb{T_2}$$

식$(10)$을 계산하면 다음과 같이 전체 회로망의 전송 행렬을 구할 수 있습니다.

$$\mathbb{T}=\begin{bmatrix}A_{1}A_{2}+ B_{1}C_{2}& A_{1}B_{2}+ B_{1}D_{2}\\ C_{1}A_{2}+ D_{1}C_{2}& C_{1}B_{2}+ D_{1}D_{2}\end{bmatrix}$$

따라서 전체 회로망의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\begin{split}A &= A_{1}A_{2}+ B_{1}C_{2} \\ B &= A_{1}B_{2}+ B_{1}D_{2} \\ C &= C_{1}A_{2}+ D_{1}C_{2} \\ D &= C_{1}B_{2}+ D_{1}D_{2}\end{split}$$