문제 각 전기 공급 방식의 전력 손실

단상 2선식과 3상 3선식의 전력 손실을 각각 $P_{l1}$, $P_{l3}$라고 하면 전력 손실비는 다음과 같습니다. 각 식에서 아래 첨자 $1$은 단상 2선식을 의미하고, 아래 첨자 $3$은 3상 3선식을 의미합니다.

$$\frac{P_{l3}}{P_{l1}} = \frac{3 I_3^2 R_3}{2 I_1^2 R_1}$$

위 식에서 전류와 저항 관계를 구하여 문제를 해결합니다.

각각의 전력 공급을 $P_{1}$, $P_{3}$라고 하면 다음 관계를 만족합니다.

$$P_{1} = VI_1\cos\theta, \quad P_3 = \sqrt 3 VI_3\cos\theta$$

문제에서 주어진 조건에 의하면 전력공급이 동일하므로 $P_{1}=P_{3}$이며, 이로부터 다음 관계를 알 수 있습니다.

$$I_1 = \sqrt 3 I_3$$

각각의 전선 중량을 $W_1$, $W_3$라고 하면 다음 관계를 만족합니다. 아래 식에서 $\sigma$는 전선의 밀도, $l$은 전선의 길이, $A$는 전선의 단면적을 의미합니다.

$$W_1 = 2 \sigma A_1 l , \quad W_3 = 3 \sigma A_3 l$$

전선의 총 중량이 동일하므로 $W_1=W_3$이며, 이로부터 다음 관계를 알 수 있습니다.

$$\frac{A_3}{A_1} = \frac{2}{3}$$

전선의 단면적과 저항간은 반비례 관계에 있으므로 (즉, $R \sim \dfrac{1}{A}$) 다음 관계를 구할 수 있습니다.

$$\frac{A_3}{A_1} = \frac{2}{3} = \frac{R_1}{R_3}$$

위에서 구한 전류 및 저항 관계를 다음 식에 대입하면 전력 손실비를 구할 수 있습니다.

$$\begin{split} \frac{P_{l3}}{P_{l1}} &= \frac{3 I_3^2 R_3}{2 I_1^2 R_1} = \frac{3}{2} \left( \frac{I_3}{I_1} \right)^2 \frac{R_3}{R_1} \\[3ex] &= \frac{3}{2} \left( \frac{1}{\sqrt 3} \right)^2 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \end{split}$$