강의노트 중거리 송전 선로의 4단자 정수를 구하는 다른 방법

앞에서 중거리 송전 선로의 4단자 정수를 구하는 방법은 과정이 복잡하며 직관적이지도 못합니다. 그런데 4단자 정수의 성질을 이용하면 이를 좀 더 쉽게 구할 수 있는 방법이 있습니다.

앞에서 살펴본 4단자 회로망의 직렬 연결 회로를 계산하는 방법을 이용하여 등가 회로를 단순한 부분 회로로 분해하여 각 부분 회로의 4단자 정수를 구한 다음에 이를 결합하는 것입니다.

예를 들어 $\pi\,$형 등가 회로를 이용하여 4단자 정수를 구하는 방법을 설명합니다.

위의 회로를 분석하면 3개의 부분 회로의 직렬 연결로 생각할 수 있습니다.

직렬 회로의 4단자 정수

다음 그림과 같은 직렬 요소의 4단자 정수를 구합니다. 이 부분 회로는 위 그림의 $\mathrm{T}_2$에 해당하는 회로입니다.

위의 회로에서 $\mathbf{I_S} = \mathbf{I_R} \,$이고, KVL을 이용하면 다음과 같은 송전단 전압 식을 구할 수 있습니다.

$$\mathbf{V_S} = \mathbf{V_R} + \mathbf{Z} \mathbf{I_R}$$

따라서 다음과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix} \mathbf{V_S} \\ \mathbf{I_S} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{Z} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{V_R} \\ \mathbf{I_R} \end{bmatrix}$$

따라서 전송 행렬 $\mathbb{T}_2$를 다음과 같이 정의합니다.

$$\color{red} \mathbb{T}_2 = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{Z} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

병렬 회로의 4단자 정수

다음 그림과 같은 병렬 요소의 4단자 정수를 구합니다. 이 부분 회로는 위 그림의 $\mathrm{T}_1$과 $\mathrm{T}_3$에 해당하는 회로입니다.

위의 회로에서 $\mathbf{V_S} = \mathbf{V_R} \,$이고, KCL을 이용하면 다음과 같은 송전단 전압 식을 구할 수 있습니다.

$$\mathbf{I_S} = \mathbf{I_R} + \dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V_R}$$

따라서 다음과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix} \mathbf{V_S} \\ \mathbf{I_S} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{V_R} \\ \mathbf{I_R} \end{bmatrix}$$

따라서 전송 행렬 $\mathbb{T}_1$과 $\mathbb{T}_3$를 다음과 같이 정의합니다.

$$\color{red} \mathbb{T}_1 = \mathbb{T}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2} & 1 \end{bmatrix}$$

전체 회로의 4단자 정수

위의 두 회로가 직렬 연결된 전체 회로의 4단자 정수는 전체 전송 행렬을 계산함으로써 구할 수 있습니다.

$$\mathbb{T}=\mathbb{T_1}\mathbb{T_2}\mathbb{T_3}$$

위의 식을 앞에서 구한 각 부분회로의 4단자 정수를 적용하여 계산하면 다음과 같습니다.

$$\begin{align*} \mathbb{T} &= \mathbb{T_1} \mathbb{T_2} \mathbb{T_3} \\ &= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& \mathbf{Z} \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2}&1\end{bmatrix} \end{align*}$$

앞의 행렬 계산을 하면 다음과 같습니다.

$$\mathbb{T} = \begin{bmatrix}1& \mathbf{Z} \\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2}& 1+\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2}&1 \end{bmatrix}$$

최종적으로 다음과 같은 결과를 구할 수 있습니다.

$$\mathbb{T} = \begin{bmatrix} 1+\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{2}& \mathbf{Z} \\ \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{4}\right)& 1+\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{2}\end{bmatrix}$$

위의 결과는 앞에서 구한 결과와 동일합니다.

$$\color{red} \begin{align*} A &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \\ B &= \mathbf{Z} \\ C &= \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \\ D &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{align*}$$