강의노트 단거리 송전 선로의 송전단 전압과 수전단 전압의 관계

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아래 그림과 같은 단거리 송전 선로의 송전단 전압과 수전단 전압의 관계식은 다음과 같습니다.

VS=VR+IZ(1) \tag{1} \mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{I}\mathbf{Z}

수전단 전압의 위상을 기준 위상으로 00으로 가정하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 식에서 VR\mathbf{V}_R은 페이서이고 VRV_R은 실효값입니다.

VR=VR0=VR(2) \tag{2} \mathbf{V}_R = V_R \phase {\,0^\circ} = V_R

수전단에 연결된 부하의 역률이 cosθ\cos\theta 라고 하면 수전단 전압의 위상을 기준 위상 (즉, 위상값 = 00)으로 할 때 지상 전류(위상이 기준 전압에 대하여 뒤지는 전류)가 흐르므로 선로 전류는 다음과 같습니다.

I=Iejθ=I(cosθjsinθ)(3) \tag{3} \mathbf{I} = I e^{-j \theta } = I \left(\cos\theta - j \sin\theta \right)

단거리 송전 선로의 임피던스는 다음과 같이 저항과 리액턴스의 직렬 회로로 표현됩니다.

Z=R+jX(4) \tag{4} \mathbf{Z} = {R + jX}

(1)(1)에 식(2)(4)(2) \sim (4)를 적용하여 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다.

VS=VR+IZ=VR+I(cosθjsinθ)(R+jX)(5) \tag{5} \begin{split} \mathbf{V}_S &= \mathbf{V}_R + \mathbf{I}\mathbf{Z} \\[0.5ex] &= {V}_R + {I}\left(\cos\theta - j \sin\theta \right) \left({R + jX} \right) \end{split}

단거리 송전 선로의 벡터도를 다음과 같이 나타낼 수 있고 이로부터 단거리 송전 선로의 송전단 전압을 알 수 있습니다.

(5)(5)를 정리하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

VS=VR+I(Rcosθ+Xsinθ)+jI(XcosθRsinθ)(6) \tag{6} \begin{split} \mathbf{V}_S &= {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right) \\[0.5ex] &\,+ \, j{I}\left({X\cos\theta - R\sin\theta } \right) \end{split}

(6)(6)의 실수부와 허수부를 각각 VSRV_S^R, VSIV_S^I라고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. Re\mathrm{Re} 는 실수부 취하는 것을 의미하고, Im\mathrm{Im} 은 허수부를 취하는 것을 의미합니다.

VSR=Re[VS]VSI=Im[VS](7) \tag{7} \begin{split} V_S^R &= \mathrm{Re} [ \mathbf{V_S}] \\[0.5ex] V_S^I &= \mathrm{Im} [ \mathbf{V_S}] \end{split}

(7)(7)에 식(6)(6)을 적용하면 VSR{V}_S^RVSI{V}_S^I 는 각각 다음과 같습니다.

VSR=VR+I(Rcosθ+Xsinθ)VSI=I(XcosθRsinθ)(8) \tag{8} \begin{align*} {V}_S^R &= {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right) \\[1ex] {V}_S^I &= {I}\left({X\cos\theta - R\sin\theta } \right) \end{align*}

따라서 식(6)(6)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

VS=VSR+jVSI(9) \tag{9} \mathbf{V}_S = {V}_S^R + j {V}_S^I

VS=VS| \mathbf{V}_S | = V_S 이며, 이는 다음과 같습니다.

VS=VSR2+VSI2(10) \tag{10} {V}_S = \sqrt{{{V}_S^R}^2 + {{V}_S^I}^2 }

위의 벡터도에서 VS \mathbf{V}_S만을 표시하면 다음 그림과 같습니다.

위 그림에서 VS|\mathbf{V}_S |(즉, VSV_S)와 VSRV_S^R은 거의 같음을 알 수 있습니다. 즉, VSV_SVSRV_S^R로 근사화해도 오차가 별로 크지 않습니다. 따라서 식(6)(6)에서 VSIV_S^I항을 무시하면 다음과 같은 근사식을 구할 수 있습니다.

VSVSR=VR+I(Rcosθ+Xsinθ) {V}_S \simeq V_S^R = {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right)

따라서 단거리 송전 선로의 송전단 전압과 수전단 전압의 관계는 다음과 같이 근사적으로 나타낼 수 있습니다.

VS=VR+I(Rcosθ+Xsinθ) \color{red} {V}_S = {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right)

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