강의노트 단거리 송전 선로의 전력 전송

단거리 송전 선로 모델

아래 그림과 같은 단거리 송전 선로의 왼쪽을 송전단이라고 하고 오른쪽을 수전단이라고 할 때, 송전단과 수전단 사이의 전력 전송에 관하여 알아봅니다.

아래 그림에서 송전 선로의 복소 임피던스는 다음과 같이 표현됩니다.

$$\tag{1} \mathbf{Z} = Z \,e^{j\theta_{Z}}$$

위의 그림에서 송전단 전압(페이서)과 수전단 전압(페이서)은 각각 다음과 같이 표시합니다.

$$\tag{2} \begin{split} \mathbf{V_S} &= V_{S} \, e^{j\theta_{S}} \\ \mathbf{V_R} &= V_{R} \, e^{j\theta_{R}} \end{split}$$

위 식에서 송전단 전압과 수전단 전압의 위상차를 다음과 같이 $\delta$ 로 정의합니다.

$$\tag{3} \delta =\theta_{S}-\theta_{R}$$

이때 그림에서 보듯이 송전단에서 수전단으로 보내주는 복소 전력을 $\mathbf{S}_S$ 라고 하고 수전단에서 송전단으로 보내주는 복소 전력을 $\mathbf{S}_R$ 이라고 합니다.

송전단에서 수전단으로 보내주는 복소전력

송전단에서 수전단으로 보내주는 복소전력$(\mathbf{S}_S)$는 다음 식으로 부터 계산할 수 있습니다. 식에서 $\mathbf{I_S^*}\,$는 송전단으로부터 수전단 쪽으로 주입되는 전류(페이서)를 의미합니다.

$$\tag{4} \mathbf{S_S} = \mathbf{V_S} \mathbf{I_S^*}$$

위 식에서 송전 선로의 전류는 다음과 같습니다.

$$\tag{5} \mathbf{I_S} = \mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V_S}- \mathbf{V_R}}{\mathbf{Z}}$$

식$(5)$를 식$(4)$에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\begin{split} \mathbf{S_S} &= \mathbf{V_S} \mathbf{I_S^*} \\ &= \mathbf{V_S} \left(\dfrac{\mathbf{V_S}- \mathbf{V_R}}{\mathbf{Z}} \right )^* \\ &= \dfrac{\mathbf{V_S} \mathbf{V_S^*}}{\mathbf{Z}^*} - \dfrac{\mathbf{V_S} \mathbf{V_R^*}}{\mathbf{Z}^*} \end{split}$$

위 식에서 식$(1) \sim (3)$을 적용하여 정리하면

$$\begin{split} \mathbf{S_S} &= \dfrac{V_S^2}{ Z e^{-j\theta_{Z}}} - \dfrac{ V_S \,e^{j\theta_{S}} \, V_{R} \,e^{-j\theta_{R}}}{ Z e^{-j\theta_{Z}}} \\ &= \dfrac{ V_S ^2}{ Z }e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{ V_S V_R }{ Z } \,e^{j\theta_{Z}}e^{j\delta} \end{split}$$

따라서 송전단에서 수전단으로 보내주는 복소전력은 다음과 같습니다.

$$\color{red} \mathbf{S_S} = \dfrac{ V_S ^2}{ Z }e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{ V_S V_R }{ Z } \,e^{j\theta_{Z}}e^{j\delta}$$

수전단에서 송전단으로 보내주는 복소전력

수전단에서 송전단으로 보내주는 복소 전력은이는 위와 유사한 과정을 통하여 구할 수 있습니다. 위의 그림에서 나타내었듯이 $\mathbf{S_R}$은 다음 식으로 구합니다.

$$\tag{6} \mathbf{S_R} = \mathbf{V_R} \mathbf{I_R^*}$$

먼저 수전단에서 송전단쪽으로 주입되는 전류(페이서)를 $\mathbf{I_R}$이라 하면 이는 다음과 같습니다.

$$\tag{7} \mathbf{I_R} = - \,\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V_R}- \mathbf{V_S}}{\mathbf{Z}}$$

식$(7)$을 식$(6)$에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\begin{split} \mathbf{S_R} &= \mathbf{V_R} \mathbf{I_R^*} \\ &= \mathbf{V_R} \left(\dfrac{\mathbf{V_R}- \mathbf{V_S}}{\mathbf{Z}} \right )^* \\ &= \dfrac{\mathbf{V_R} \mathbf{V_R^*}}{\mathbf{Z}^*} - \dfrac{\mathbf{V_R} \mathbf{V_S^*}}{\mathbf{Z}^*} \end{split}$$

위와 같은 방식으로 정리하면 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다.

$$\color{red} \mathbf{S_R} =\dfrac{ V_R^2}{ Z }e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{ V_{S} V_{R} }{ Z }e^{j\theta_{Z}}e^{-j\delta}$$

수전단에서 받는 복소전력

수전단에서 받는 복소 전력은 수전단에서 송전단으로 보내주는 전력과 방향이 반대이므로 위의 식의 부호를 반대로 하여 주면 됩니다.

아래 식에서 수전단에서 받는 복소 전력은 $- \mathbf{S_R}$ 입니다.

$$\color{red} - \mathbf{S_R} = - \dfrac{ V_R^2}{ Z }e^{j\theta_{Z}} + \dfrac{ V_{S} V_{R} }{ Z }e^{j\theta_{Z}}e^{-j\delta}$$