강의노트 진상제어기 - 예제

진상제어기 예제

1. 플랜트가 $G(s) = \dfrac{K}{s^2}$일때 계단 입력에 대해 $OS \le 30 \% \quad ; \quad t_s \le 3[s]$가 되도록 제어기를 설계하여라.

설계]

플랜트의 응답은 아래와 같이 오버슛이 100%로 진동하는 시스템이다. 원하는 사양을 만족하지 못한다.

주어진 시스템의 근궤적은 원점에 두개의 극점이 있고 y축에 있다.

플랜트의 근궤적과 원하는 사양의 극점을 근궤적에 표시하면 아래와 같다.

원하는 시스템은 최대오버슛이 30 [%]이하, 정정시간 3초 이하이다.

이 정보로 얻을 수 있는 시스템의 극점은 다음과 같다.

$$OS = e^{\dfrac{-a \pi}{\sqrt{1-a^2}}}$$

$$a = \sqrt{\dfrac{(\ln{OS})^2}{(\ln{OS})^2+\pi^2}}= \sqrt{\dfrac{(\ln{0.3})^2}{(\ln{0.3})^2+\pi^2}}= 0.358$$

$$t_s = \dfrac{3.2}{a \omega}$$

$$\omega = \dfrac{3.2}{a t_s} = \dfrac{3.2}{0.358 \times 3} = 2.98$$

위에서 계산된 감쇄비와 주파수로 원하는 사양에 해당하는 극점의 위치는 $-1.06 \pm j2.78$이다.

원하는 사양의 극점이 플랜트의 근궤적에 포함되지 않는다.

원하는 극점$P = -1.07 \pm 2.78j$일때 의 부족각은 $\phi = 180 - G(-1.067 + 2.783j) = 180 - \angle \left( \dfrac{K}{(-1.07 + 2.78j)^2}\right) = 41.94^\circ$가 된다.

$$\angle OPA = \theta = 138.06^\circ$$

$$\angle APB = \dfrac{\theta}{2} = \angle BPO$$

$$\angle aPB = \angle BPb = \dfrac{\phi}{2}$$

$$\bar{bd} =$$

$$\angle OPd = \tan^{-1}(2.78/1.07)$$

보상기를 포함한 시스템의 근궤적과 원하는 극점을 포함한 그래프는 다음과 같다.

새로운 근궤적이 원하는 극점을 지나가고 있는 것을 볼 수 있다. 이 근궤적의 이득을 보면 5.164가 된다. 이득을 넣고 시스템의 응답은 다음과 같다.

응답을 보면 53%의 오버슛이지만 정정시간은 3초보다 작아진다. 응답이 원하는 오버슛을 만족하지 못한다.

부족각을 50%를 증가하여 보상기를 설계한 결과는 오버슛은 32%에 정정시간은 1.5초로 원하는 시스템을 만족한다.