강의노트 진상제어기 설계

진상제어기

위상 특성이 빠른 진상요소를 보상요소로 사용하여 안정도와 속응성을 개선하는 것을 목적으로 한 것입니다.

이를 위해 출력 위상이 입력 위상보다 앞서도록 위상을 조정하는 장치를 사용하며, 이는 안정도와 응답 속도를 개선하는 데 도움이 됩니다.

따라서 이 장치는 안정성과 속도를 향상시키기 위한 제어 시스템에서 사용됩니다.

진상제어기 형태

$$D(s) = K \dfrac{s+b}{s+a} = K \dfrac{b}{a} \dfrac{\dfrac{1}{b}s+1}{\dfrac{1}{a}s+1} = K_1 \dfrac{Ts + 1}{\alpha T s + 1} \quad a>b>0 \quad \alpha<1$$

• PD제어기와의 차이점 : PD제어기(영점만 추가) ⇔ 진상제어기(영점과 극점을 추가)

진상제어기 회로 예

• 회로 방정식은

$$C \dfrac{d[v_i(t)-v_o(t)]}{dt} + \dfrac{[v_i(t)-v_o(t)]}{R_1} = \dfrac{v_o(t)}{R_2}$$

$$Cs[V_i(s)-V_o(s)]+\dfrac{[V_i(s)-V_o(s)]}{R_1}=\dfrac{V_o(s)}{R_2}$$

$$G(s) = \dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}=\dfrac{Cs + \dfrac{1}{R_1}}{Cs + \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}}=\dfrac{s+b}{s+a}$$

$$a = \dfrac{1}{R_1C}+\dfrac{1}{R_2C}, \quad b = \dfrac{1}{R_1C}$$

근궤적법에 의한 앞섬보상기(진상제어기) 설계

보상되지 않은 시스템($GH(s)$)의 근궤적 선도를 그린다. 원하는 사양에 해당하는 극점($P$)들이 근궤적에 포함되는지 확인하다.

이득 조절로 요구되는 사양을 만족하면 이득이 제어기가 된다.

요구되는 사양을 얻을 수 없다면 부족각 $\phi = 180^\circ + \alpha 360^\circ - \angle GH(P)$를 산출한다.

플랜트의 극점과 영점들과 원하는 사양에 해당하는 극점(P점)으로부터 진상제어기의 극점($a$)와 영점($b$)을 방법1 혹은 방법2를 이용하여 구할 수 있다.

방법1 :

점 $P$를 지나는 수평선$\overline{PA}$를 긋는다.

점 $P$와 원점 $O$를 연결하는 직선 $\overline{PO}$를 긋는다.

직선 $\overline{PA}$와 직선 $\overline{PO}$간의 끼인 각을 2등분하는 직선 $\overline{PB}$를 긋는다.

직선 $\overline{PB}$와 $\pm \dfrac{\phi}{2}$의 각도를 갖는 두 직선 $\overline{PA}, \overline{PB}$를 그어서 실수축과 교차하는 점으로부터 진상보상기의 극점($-\omega_p = a$)과 영점( $-\omega_z= b$)을 구한다.

진상보상기는 $D(s) = K\dfrac{s+b}{s+a}$가 된다.

진상보상기의 이득은 식(1)과 같이 요구되는 사양의 극점이 플랜트와 제어기의 직렬연결한 시스템의 역수가 되도록 한다.

$$\tag{1} K = \dfrac{1}{\left| D(P) GH(P) \right|}$$

방법 2:

방법2는 b점이 $P$의 x축의 값과 같은 위치에 놓는다.

$\angle aPb = \phi$가 되도록 점$a$를 정한다.

이득 $K$는 식(1)과 같이 계산한다.

보상기가 설계되면, 모든 성능사양이 만족되는지를 확인한다. 만족하지 않으면, 모든 사양이 만족될 때까지 보상기의 극점과 영점을 조정하는 설계과정을 반복한다.