Problem 선로 손실의 개선

(1) 이 경우의 B점, C점의 전압은?

3상 선로의 전압강하는 다음과 같다.

$$e= V_S - V_R = \sqrt{3}I(R\cos\theta + X \sin\theta )$$

문제에서 A-B 구간의 전류를 $I_1$, B-C 구간의 전류를 $I_2$ 라 하고, 각 구간의 저항과 리액턴스도 동일한 기호를 적용하면 B 점의 전압은 다음식으로 구할 수 있다.

$$V_B = V_A - \sqrt{3}I_1 (R_1 \cos\theta + X_1 \sin\theta )$$

문제에서 주어진 수치를 대입하면,

$$\begin{align*} V_B &= 3300 - \sqrt{3} \times 100 \times( 1.8\times 0.8 + 0.8\times 0.6 ) \\ &= 2967.45 [\mathrm{V}] \end{align*}$$

C 점의 전압도 동일한 방식으로 구할 수 있다.

$$V_C = V_B - \sqrt{3}I_2 (R_2 \cos\theta + X_2 \sin\theta )$$

문제에서 주어진 수치를 대입하면

$$\begin{align*} V_C &= 2967.45 - \sqrt{3} \times 50 \times( 3.6\times 0.8 + 1.6\times 0.6 ) \\ &= 2634.9 [\mathrm{V}] \end{align*}$$

(2) C점에 전력용 콘덴서를 설치하여 진상 전류 40[A]를 흘릴 때 B점, C점의 전압은?

전력용 콘덴서 설치시 무효 성분이 추가되는 것으로 생각할 수 있으므로

$$V_B = V_A - \sqrt{3}I_1 (R_1 \cos\theta + X_1 \sin\theta ) + \sqrt{3}I_C X_1$$

문제에서 주어진 수치를 대입하면,

$$\begin{align*} V_B &= 3300 - \sqrt{3} \times 100 \times( 1.8\times 0.8 + 0.8\times 0.6 ) \\ &+ \sqrt 3 \times 40 \times 0.8 \\ &= 3022.87 [\mathrm{V}] \end{align*}$$

C 점의 전압도 동일한 방식으로 구할 수 있다.

$$V_C = V_B - \sqrt{3}I_2 (R_2 \cos\theta + X_2 \sin\theta ) + \sqrt{3}I_C X_2$$

문제에서 주어진 수치를 대입하면,

$$\begin{align*} V_C &= 3022.87 - \sqrt{3} \times 50 \times( 3.6\times 0.8 + 1.6\times 0.6 ) \\ &+ \sqrt 3 \times 40 \times 1.6 \\ &= 2801.17 [\mathrm{V}] \end{align*}$$

(3) 전력용 콘덴서를 설치하기 전과 후의 선로의 전력 손실을 구하시오.

전력용 콘덴서 설치전의 손실을 $P_{l1}$이라 하면

$$\begin{align*} P_{l1} &= 3\,I_1^2 R_1 + 3\,I_2^2 R_2 \\ &= 3\times 100^2 \times 1.8 + 3 \times 50^2 \times 3.6 \\ &= 81\,[\mathrm{kW}] \end{align*}$$

전력용 콘덴서 설치후의 손실을 $P_{l2}$라 하면

$$P_{l2} = 3 {I'}_1^2 R_1 + 3 {I'}_2^2 R_2$$

위 식에서 $I'_1$과 $I'_2$는 전력용 콘덴서 설치후의 전류를 의미하며, 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\begin{align*} I'_1 &= \left| 100\times (0.8 -j0.6) + j40 \right| \\ &= \left| 80 - j20 \right| = 82.46\,[\mathrm{A}] \\ I'_2 &= \left| 50\times (0.8 -j0.6) + j40 \right| \\ &= \left| 40 + j10 \right| = 41.23\,[\mathrm{A}] \end{align*}$$

따라서 전력용 콘덴서 설치후의 손실은 다음과 같다.

$$\begin{align*} P_{l2} &= 3 {I'}_1^2 R_1 + 3 {I'}_2^2 R_2 \\ &= 3\times 82.46^2 \times 1.8 + 3 \times 41.23^2\times 3.6 \\ &= 55.1\,[\mathrm{kW}] \end{align*}$$