Lecture 주파수 응답과 극점의 관계

변수

주파수 응답과 극점의 관계

표준 2차 제어시스템의 전달함수는 다음 그림과 같다.

전달함수를 주파수($j \omega$)로 표현하면 식(1)과 같다.

$$\tag{1} G_T (j \omega ) = \dfrac{\omega^2_{n}}{(j \omega)^2+j2 a \omega_n \omega + \omega^2_n} = \frac{\omega^2_{n}}{ \omega^2_n - \omega^2 +j2 a \omega_n \omega}$$

식(1)을 크기(식(2))와 위상각(식(3))으로 나타낸다.

$$\tag{2} \vert G_T (j \omega ) \vert = \dfrac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n -\omega^2 )^2 +(2 a \omega_n \omega )^2}}$$

$$\tag{3} \angle{G_T (j \omega )} = - tan^{-1} ( \frac{2 a \omega_n \omega}{\omega^2_n - \omega^2} )$$

정상상태 이득

정상상태 이득은 주파수가 0일때의 이득이다.

$$\vert G_T (j 0 ) \vert = \dfrac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n -0^2 )^2 +(2 a \omega_n 0)^2}}= 1$$

공진 최고점 ( $M_r$ ), 공진 주파수 ($\omega_r$, resonant frequency)

보드 크기 선도에서 최고 값을 가지는 점이 공진 최고점이된다. 식(2)를 주파수에 대하여 미분한 값이 0일때 공진 최고점이 된다.

$$\frac{d \vert G_T (j \omega ) \vert}{d \omega} = - \frac12 \frac{2(\omega^2_{n}-\omega^2 ) (-2\omega) + (2 a \omega_n )^2 2\omega}{((\omega^2_n -\omega^2 )^2 +(2 a \omega_n \omega )^2)^{\frac32}}=0$$

$$(\omega^2_n - \omega^2)(-\omega)+2(a \omega_n)^2\omega =0$$

$$\tag{4} \omega^2_n - 2 a^2 \omega^2_n = \omega^2$$

식(4)를 만족하는 주파수를 공진 주파수라 한다.

$$\omega_r = \omega_n \sqrt{1-2 a^2}$$

제동비가 0.707보다 크면 모든 주파수에서 $M_r$은 $M_0$보다 작다

공진 최고점은 공진주파수일때의 전달함수의 크기이다.

$$\vert G_T (j \omega_r ) \vert = \frac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n -\omega^2_r )^2 +(2 a \omega_n \omega_r )^2}} \\ = \dfrac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n - (\omega_n \sqrt{1-2 a^2})^2 )^2 +(2 a \omega_n (\omega_n \sqrt{1-2 a^2}))^2}}\\ = \dfrac{1}{2a\sqrt{1-a^2}}$$

대역폭 ($\omega_{BW}$)

주파수가 0일 때의 크기로부터 3dB만큼 크기 보드 선도가 줄어들었을 때의 주파수

$\vert G_T (j \omega ) \vert_{dB} = -3 dB$ 일때의 주파수 $\omega_{BW}$ 는 $\vert G_T (j \omega ) \vert = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 일 때이다.

$$\vert G_T (j \omega_{BW}) \vert = \frac{1}{\sqrt2}= \frac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n -\omega^2 )^2 +(2 a \omega_n \omega )^2}}$$

$$\begin{align*} \frac12 &= \frac{\omega^4_n}{(\omega^2_n - \omega^2)^2 +(2a \omega_n \omega)^2} \\ &= \frac{\omega^4_n}{\omega^4_n - 2\omega^2_n \omega^2 + \omega^4 + 4a^2 \omega^2_n \omega^2} \end{align*}$$

$${\omega^4_n - 2\omega^2_n \omega^2 + \omega^4 + 4a^2 \omega^2_n \omega^2} = 2 \omega^4_n$$

$${\omega^4_n + 2\omega^2_n (2a^2 -1) \omega^2 - \omega^4_n} = 0$$

$$\omega^2 = \omega^2_n ((1-2a^2) \pm \sqrt{4a^4 - 4a^2 +2})$$

$$\omega_{BW} = \omega_n \sqrt{(1-2a^2) + \sqrt{4a^4 - 4a^2 +2}}$$

대역폭은 고유주파수($\omega_n$)에 정비례하고, 감쇠비($a$)가 증가하면 감소한다.

$0$ 에서 $a \downarrow \Rightarrow \omega_{BW} \uparrow \Rightarrow M_r \uparrow$

대역폭이 넓을수록 응답속도가 빠르다.

대역폭은 근사적으로 시간영역에서 과도응답 특성을 나타내는 시정수의 역수에 해당한다.

차단주파수 ($\omega_{BW}$)

크기가 3dB떨어졌을 때의 주파수

차단율(분리도)

차단주파수에서의 이득 곡선의 기울기를 차단율이라 한다.

신호와 잡음을 분리하는 특성을 나타낸다.

일반적으로 잡음신호는 고주파에서 에너지를 가지므로 차단율이 크면 잡음을 제거하는 성능이 좋아지지만 공진최대값을 동반하여 불안정하게 될 수 있다.

주파수 응답 예

$\omega_n = 10$, $\omega=1$인 경우 $a$의 변화에 대한 시스템 응답 (0.2:0.2:1)

$a = 0.2$, $\omega=1$인 경우 $\omega_n$의 변화에 대한 시스템 응답 (10:10:50)