Lecture 2차지연시스템의 단위계단응답

2차지연시스템의 단위계단응답

특성방정식 : $s^2 + 2a\omega s + \omega^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad s_{1,2} = -a \omega \pm j \omega \sqrt{1-a^2}=\sigma \pm j\omega_d$

$a$ : 감쇠비(damping ratio), 제동비

$\omega$ : 고유주파수(natural frequency)

$\sigma = - a \omega$ : 제동 계수, 실제 제동

$\tau = \dfrac{1}{\sigma}=\dfrac{1}{a \omega}$ : 시정수

$\omega_d = \omega \sqrt{1-a^2}$ : 실제 주파수, 감쇠 진동 주파수

단위계단 입력시

$$Y(s) = G(s)R(s) = \dfrac{\omega^2}{s^2+2a\omega s + \omega^2} \times \dfrac{1}{s}$$

• 편의상 모든 초기 조건은 0으로 가정

$a>1$이면 두 개의 실근 -> 과잉 감쇄

$$s_{1,2} = -a \omega \pm \omega \sqrt{a^2-1}$$

$a > \sqrt{a^1-1} \quad \Rightarrow s_1,S_2$ 모두 0보다 작음

$$Y(s) = \dfrac{\omega^2}{s(s-s_1)(s-s_2)} = \dfrac{k_1}{s-s_1}+\dfrac{k_2}{s-s_2}+\dfrac{1}{s}$$

$$k_1 = \lim_{s \to s_1} \dfrac{\omega^2(s-s_1)}{s(s-s_1)(s-s_2)}=\dfrac{\omega^2}{s_1(s_1-s_2)}$$

$$k_2 = \lim_{s \to s_2} \dfrac{\omega^2(s-s_2)}{s(s-s_1)(s-s_2)}=\dfrac{\omega^2}{s_2(s_2-s_1)}$$

• $k_1 \quad,\quad k_2$는 컬레 복소수의 관계

$$\begin{aligned} y(t) &= k_1 e^{s_1t}+k_2e^{s_2t}+1\\ &= \dfrac{e^{(-a\omega+\omega\sqrt{a^2-1})t}}{2(-a-\sqrt{a^2-1})\sqrt{a^2-1}} + \dfrac{e^{(-a\omega-\omega\sqrt{a^2-1})t}}{2(a+\sqrt{a^2-1})\sqrt{a^2-1}}+u(t)\end{aligned}$$

$a=1$ 임계제동

$$s_{1,2} = - \omega$$

$0$이면 두 개의 허근

$$s_{1,2} = -a \omega \pm j \omega \sqrt{1-a^2}=\sigma \pm j\omega_d$$

$$\begin{aligned} y(t) &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \dfrac{\omega^2}{s^2+2a\omega s + \omega^2} \times \dfrac{1}{s} \right] \\ &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \dfrac{K_1}{s} + \dfrac{K_2s+K_3}{s^2+2a\omega s + \omega^2} \right] \\ &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \dfrac{1}{s} - \dfrac{(s+a\omega) + \dfrac{a}{\sqrt{1-a^2}} \omega \sqrt{1-a^2}}{(s+a\omega)^2 + \omega^2(1-a^2)} \right] \\ &= 1 - e^{a\omega t} \left( \cos (\omega \sqrt{1-a^2}t) + \dfrac{a}{\sqrt{1-a^2}}\sin(\omega \sqrt{1-a^2}t)) \right) \\ &= 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}} e^{-a \omega t}\cos(\omega \sqrt{1-a^2}t-\phi) \end{aligned}$$

단, $\phi = \tan^{-1} (\dfrac{a}{\sqrt{1-a^2}}) , 0$

$a = 0$ 무제동

$s_{1,2} = \pm j\omega$

$a < 0$ 발산

2중근이면

$$Y(s) = \dfrac{\omega^2}{s(s-s_1)^2} = \dfrac{k_1}{s-s_1}+\dfrac{k_2}{(s-s_1)^2}+\dfrac{1}{s}$$

$$k_2 = \lim_{s \to s_1} \dfrac{\omega^2(s-s_1)^2}{s(s-s_1)^2}=\dfrac{\omega^2}{s_1}$$

$$k_1 = \lim_{s \to s_1} \dfrac{d}{ds} \left( \dfrac{\omega^2}{s} \right)= -\dfrac{\omega^2}{s_1^2}$$

$$y(t) = k_1 e^{s_1t}+k_2te^{s_1t}+1$$

오버슈트

출력값에서 최종값을 뺀 값

백분율 오버슈트

오버슈트를 백분율로 표현한 것

$$\%OS = e^{-\dfrac{a\pi}{\sqrt{1-a^2}}}$$

$$a = \dfrac{-\ln{\left( \dfrac{\%OS}{100}\right)}}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2{\left( \dfrac{\%OS}{100}\right)}}}$$

첨두값 시간

최대 오버슈트가 나타나는 시간

$$t_p = \dfrac{\pi}{\omega \sqrt{1-a^2}} = \dfrac{\pi}{\omega_d}$$

지연시간

출력값이 최종값의 50%에 도달하는데 걸리는 시간

$$t_d \fallingdotseq \dfrac{1+0.7a}{\omega}$$

상승시간

출력값이 최종값의 10%에서 90%까지 도달하는데 걸리는 시간

$$t_r \fallingdotseq \dfrac{0.8+2.5a}{\omega}$$

정정시간

$$t_s \fallingdotseq \dfrac{4}{a\omega}= \dfrac{4}{\sigma_d}$$

감쇠지수주파수(exponential damping frequency) $\sigma_d$

• 2차지연시스템의 단위계단응답의 종류 : 근의 위치가 복소평면에서 어디에 있는냐에 따라 구분됨
  • 과제동응답 : 두 근 모두 복소평면의 좌반면 실수축 위에 있을때
  • 임계제동응답 : 두 근 모두 복소평면의 좌반면 실수축 위에 겹쳐 있을때
  • 부족제동응답 : 두 근 모두 복소평면의 좌반면에 있을때
  • 무제동응답 : 두 근 모두 복소평면의 허수축에 있일때

감쇠비 및 고유주파수와 특성방정식의 근

$$\begin{aligned} s^2 + 2a\omega s + \omega^2 &= (s+a\omega)^2 + \omega^2(1-a^2)\\ &= \{ (s+a\omega)-j \omega \sqrt{1-a^2} \} \{ (s+a\omega)+j \omega \sqrt{1-a^2} \} \\ &=0 \end{aligned}$$

$$s_1 = -a \omega + j \omega \sqrt{1-a^2} \quad, \quad s_2 = -a \omega - j \omega \sqrt{1-a^2}$$