Lecture 상태 변수 추정기 (관측기)

상태 변수 추정기(관측기)

상태 변수 피드백 제어기를 구성하려면 모든 상태 변수가 측정 가능해야한다.

모든 상태 변수를 측정하는 것은 비용이 비싸다. 모든 상태 변수를 집적 측정하지 않고 상태 변수를 추정하여 사용한다.

입력 신호, 출력 신호, 그리고 시스템의 동적 특성에 대한 정보를 이용하여 시스템의 상태 변수를 추정한다.

$\hat X$ : 추정된 상태 변수를 의미

상태 변수 추정기의 상태 변수 $\hat X$는 상태 변수 $X$에 수렴한다.

시스템 상태방정식과 출력방정식

$$\tag{1} \begin{cases} \dot X=AX+BU \\ Y=CX \end{cases}$$

관측기의 상태방정식과 출력방정식

$$\tag{2} \begin{cases} \dot {\hat X}=A \hat X+BU \\ \hat Y=C \hat X \end{cases}$$

관측기의 출력이 원래의 시스템 출력과의 차이가 없어야 함으로

식 (3)은 실제 출력과 관측기 출력의 차이를 관측기에 추가한 시스템이다.

$$\tag{3} \begin{cases} \dot {\hat X}=A \hat X+B U + L(Y-\hat Y) \\ \hat Y=C \hat X \end{cases}$$

식 (1)에서 식 (3)을 빼면 식(4)를 얻는다.

$$\tag{4} \begin{cases} \dot X- \dot{\hat X}=A(X-\hat X)-L(Y-\hat Y) \\ Y-\hat Y=C(X-\hat X) \end{cases}$$

식 (4)를 정리하면 식(5)와 같아진다.

$$\tag{5} \dot X-\dot{\hat X}=A(X-\hat X)-LC(X-\hat X)=(A-LC)(X-\hat X)$$

여기서, $E=X-\hat X$로 하면 식(5)는 식(6)과 같아진다.

$$\tag{6} \dot E=(A-LC)E$$

식(6)의 특성방정식 $|sI-(A-LC)|=0$이 된다.

위 식은 근의 위치에 따라 빠르게 혹은 느리게 수렴한다. (6)식의 근은 일반적으로 시스템의 우세극점(원 시스템의 특성방정식의 근)보다 허수축에서 10배 떨어진 거리에 있도록 설계를 한다.

$E \to 0$ 수렴하는 속도는 $A-LC$행렬의 고유값의 위치에 의해서 결정된다. 근위 위치가 허수축에서 멀어질수록 상태변수의 추정값이 원 상태변수 값에 수렴하는 속도가 빨라진다.

상태 변수 관측기 설계 과정

$\hat{X(t)} \to X(t)$, $t \to \infty$를 만족하는 $A_e$, $B_e$, $L$을 구한다.

$A_e=A-LC$의 모든 고유값이 왼쪽 평면에 위치하도록 ($E \to 0$) $L$을 정한다.

$A-LC$행렬이 가져야 할 고유값$(\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_n)$ 들의 위치는 원 시스템의 우세극점의 위치보다 허수축으로부터 10배 떨어진 거리에 있도록 설계한다.

$$\tag{5} p_e(s) =(s-\beta_1)(s-\beta_2)\ldots(s-\beta_n) \\ =s^n+\alpha_{n-1}s^{n-1}+\ldots+\alpha_1s+\alpha_0=0$$

$|sI-(A-LC)|=0$을 만족하는 $L$을 결정한다. $L$을 결정하기 위해 액커만 공식을 사용한다. 하지만, 액커만 공식은 $C$의 위치의 행렬의 값을 구하는 공식이므로 약간의 변환이 필요하다.

$A-LC$행렬식에 전치를 취하면

$$\tag{6} (A-LC)^t=(A^t-C^tL^t)$$

액커만 공식은 $|sI-(A-BK)|=0$을 만족하는 K행렬을 구하는 것이기 때문에 $A^t, C^t$를 액커만 공식에 입력하면 $L^t$의 값을 얻게 된다. 그리고 $L^t$는 식(7)과 같다.

$$\tag{7} L^t=\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0&1\end{bmatrix}(M_o^t)^{-1}p_e(A^t)$$

여기서, $M_o^t=\begin{bmatrix}C^t &C^tA^t& C^t(A^t)^2 & \ldots & C^t(A^t)^{n-1} \end{bmatrix}$이고, $p_e(A) =  A^n + \alpha_{n-1}A^{n-1}+\ldots  +\alpha_nA + \alpha_0I$이다.

$L$을 구하려면 식(7)을 전치해서 식(8)을 얻는다.

$$\tag{8} L=p_e(A) (M_o)^{-1} {\begin{bmatrix} 0& 0& \ldots & 0 & 1 \end{bmatrix} }^t$$

상태 변수 방정식이 관측 가능하면 $A-LC$행렬의 고유값을 원하는 임의의 곳에 놓을 수 있는 $L$을 구할 수 있다.

상태 변수 추정기의 속도를 빠르게 하면 응답 속도는 빨라지지만, 높은 주파수 성분을 가지는 잡음에 대해서 민감해 진다.

상태 변수 추정기가 적절한 속도로 수렴하면서 잡음에 민감하지않는 이득 행렬을 구하는 것이 중요하다.