강의노트 상태 변수 추정기 기반 제어기

상태변수 추정기 기반 제어기

상태 변수 피드백 제어기를 구현하기 위해서 모든 상태 변수를 측정해야 한다.

상태 변수 피드백 제어기와 상태 변수 추정기를 결합한 상태 변수 추정기 기반 제어기(estimator based controller)를 만든다.

기준 입력이 0인 경우

$$\tag{1} U=-K \hat X$$

$K$와 $L$을 구해야한다.

$$\tag{2} \dot X =AX-BK \hat X = (A-BK)X + BK(X-\hat X)$$

$$\tag{3} \dot{ \hat X} = A \hat X -BK \hat X +L(CX - C \hat X)= LCX+(A-BK-LC) \hat X$$

상태 변수는 $X$와$\hat X$, 전체 시스템의 차수는 원래 시스템 차수의 두배가 된다.

식(2)에서 식(3)를 빼서 정리하면 식(4)이 된다.

$$\tag{4} \begin{aligned} \dot E &= \dot X - \dot{\hat X} \\ &=AX-BK \hat X-LCX-(A-BK-LC) \hat X \\ &=(A-LC)(X- \hat X) \\ &=(A-LC)E \end{aligned}$$

식(2)과 (4)을 행렬로 표현하며 식(5)와 같아진다.

$$\tag{5} \begin{bmatrix} \dot X \\ \dot E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A-BK & BK \\ 0 &A-LC \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X\\ E\end{bmatrix}$$

식(5)의 특성 방정식은 식(6)과 같다.

$$\tag{6} \begin{vmatrix}\begin{bmatrix}sI &0 \\ 0 &sI \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} A-BK & BK \\ 0 &A-LC \end{bmatrix} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} sI-(A-BK) &-BK \\ 0 &sI-(A-LC) \end{vmatrix} =0$$

$$|sI-(A-BK)||sI-(A-LC)|=0$$

전체 폐루프 시스템의 극점은 다음 두 개의 특성 방정식의 근들을 모아 놓은 것과 같다.

$|sI-(A-BK)|=0$ : 상태 변수 피드백 제어기

$|sI-(A-LC)|=0$ : 상태 추정기

상태 변수 피드백 제어기와 상태 변수 추정기는 서로 영향을 미치지 않으며 별도로 설계할 수 있다. 식(3)과 (1)로 부터 식(7)과 같이 시스템 전달함수를 구할 수 있다.

$$\begin{cases} \dot{\hat X}=(A-BK-LC)\hat X + LY \\ U=-K\hat X \end{cases}$$

$$\tag{7} \dfrac{U(s)}{Y(s)}=-K[sI-(A-BK-LC)]^{-1}L$$

기준입력이 0이 아닌 경우

$$\tag{1} U=R_0-K\hat X$$

$$\tag{2} \dot X=A X+B(R_0-K\hat X)$$

$$\tag{3} \dot{\hat X}=A\hat X+B(R_0-K\hat X)+L(CX -C\hat X) = LCX+(A-LC)\hat X+B(R_0-K\hat X)$$

식 (2)에서 (3)를 빼고 $E=X-\hat X$이라하면 식(4)가 된다.

$$\tag{4} \dot E=(A-LC)E$$

$$\tag{5} \dot X=A X+B[R_0-K(X-E)]= (A -BK)X +BKE+BR_0$$

식(4)와 (5)를 s-영역에서 라플라스 변환을 하면

$$\tag{6} \begin{cases} sX(s) - x(0) = (A -BK)X(s) +BKE(s)+BR_0(s) \\ sE(s)-e(0)=(A-LC)E(s) \end{cases}$$

식(6)을 정리하면

$$\tag{7} \begin{cases} X(s) = [sI - (A -BK)]^{-1}[x(0) +BKE(s)+BR_0(s)] \\ E(s)=[sI-(A-LC)]^{-1}e(0) \end{cases}$$

$$\tag{8} X(s) = [sI - (A -BK)]^{-1}x(0) + [sI - (A -BK)]^{-1}BK[sI-(A-LC)]^{-1}e(0) + [sI - (A -BK)]^{-1}BR_0(s)$$

출력은 $Y(s)=CX(s)$이므로 전체 시스템의 전달함수는 식(9)와 같다.

$$\tag{9} \dfrac{Y(s)}{R_0(s)}=C[sI-(A-BK)]^{-1}B$$

전체 전달함수는 추정기에 대한 결과는 나타나지 않고 피드백에 의한 결과만 나타난다.