진상제어기 설계

진상제어기는 PD제어기의 문제점인 높은 주파수 영역에서 이득값이 커지는 문제를 해결하기 위한 제어기이다.

진상제어기는 PD제어기와 저역 통과 필터를 합한 형태이다.

$D(s) = K \dfrac{Ts +1}{\alpha T s + 1}= K(T s + 1) \dfrac{1}{\alpha T s + 1}$

$\alpha = 0$ 이면 $D(s) = K (Ts +1)$ 로 PD제어기이다.

진상제어기는 $\alpha〈 1$ 즉, 위상이 앞서 간다는 뜻이다.


$\phi = \angle{ \left( \dfrac{jT\omega + 1}{j\alpha T \omega + 1} \right)} = \tan^{-1}(T\omega)-\tan^{-1} (\alpha T\omega) < 0$	$\log_{10}{\omega_{ max}} = \dfrac{1}{2}( \log_{10}{\dfrac{1}{T}} + \log_{10} \dfrac{1}{\alpha T} )\\$
$\omega_{max} = \dfrac{1}{T\sqrt{\alpha}}$	$T = \dfrac{1}{\omega_{max} \sqrt{\alpha}}$
$\phi_{max} = \tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt \alpha} - \tan^{-1} \sqrt \alpha$	$\tan(\alpha - \beta )= \dfrac{ \tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}$
$\tan \phi_{max} = \tan( \tan^{-1} \dfrac{1}{\alpha}-\tan^{-1}\sqrt \alpha )= \dfrac{1 - \alpha}{ 2\sqrt \alpha}$	$\sin \phi_{max} = \dfrac{1 -\alpha}{ 1 +\alpha}$
$1+\tan^2 \theta =\sec^2 \theta$	$\sec \theta= \dfrac{1}{\cos \theta}$
$\sin^2 \theta +cos^2 \theta =1$	$\alpha = \dfrac{1 - \sin \phi_{max}}{1 + \sin \phi_{max}}$

정상 상태 오차 조건을 만족하는 K를 정한다.

개루프 전달함수 $KG(s)H(s)$ 의 보드 선도를 그려서 위상 여유 값을 찾는다.

요구되는 위상 여유 값에 약간 더 여유를 더하여 $\phi_{required}-\phi_{now}+\phi_{reserve}= \phi_{max}$ 의 값을 결정한다.

$\phi_{max}$ 값을 $\alpha = \dfrac{ 1 - \sin \phi_{max}}{1 + \sin \phi_{max}}$ 에 대입하여 $\alpha$ 값을 결정한다.

$KG(s)H(s)$ 의 크기 보드 선도의 값이 $-0.5 \times 20 \log_{10}\dfrac{1}{\alpha}$ 이 되는 주파수를 $\omega_{max}$ 로 한다.

$\omega_{max}$ 의 값을 $T = \dfrac{1}{\omega_{max}\sqrt \alpha}$ 에 대입하여 $T$ 값을 결정한다.

결정된 진상 제어기를 적용하여 $D(s)G(s)H(s)$ 의 보드 선도를 그려서 위상 여유 값의 조건이 만족되는지 확인한다.

만약 만족되지 않으면 $\phi_{max}$ 값을 좀더 증가하여 위의 과정을 반복한다.

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