강의노트 진상제어기 설계

진상제어기 설계

• 진상제어기 : PD제어기의 문제점인 높은 주파수 영역에서 이득값이 커지는 문제를 해결하기 위한 제어기

• 진상제어기는 PD제어기와 저역 통과 필터를 합한 형태이다.

$D(s) = K \dfrac{Ts +1}{\alpha T s + 1}= K(T s + 1) \dfrac{1}{\alpha T s + 1}$

• $\alpha = 0$이면 진상제어기 = PD제어기
• 진상제어기 : $\alpha〈 1$ (위상이 앞서 간다는 뜻)

$$\phi = \angle{ \left( \dfrac{jT\omega + 1}{j\alpha T \omega + 1} \right)} = \tan^{-1}(T\omega)-\tan^{-1} (\alpha T\omega)$$

$$\log_{10}{\omega_{ max}} = \dfrac{1}{2}( \log_{10}{\dfrac{1}{T}}  +  \log_{10} \dfrac{1}{\alpha T} )\\ \Rightarrow \omega_{max} =  \dfrac{1}{T\sqrt{\alpha}} , T = \dfrac{1}{\omega_{max} \sqrt{\alpha}}$$

$$\phi_{max} = \tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt \alpha} - \tan^{-1} \sqrt \alpha$$

$$\tan(\alpha - \beta )= \dfrac{ \tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}$$

$$\tan \phi_{max} = \tan( \tan^{-1} \dfrac{1}{\alpha}-\tan^{-1}\sqrt \alpha )= \dfrac{1 - \alpha}{ 2\sqrt \alpha}$$

$$\sin \phi_{max} = \dfrac{1 -\alpha}{ 1 +\alpha}$$

$$1+\tan^2 \theta =\sec^2 \theta$$

$$\sec \theta= \dfrac{1}{\cos \theta}$$

$$\sin^2 \theta +cos^2 \theta =1$$

$$\alpha  =  \dfrac{1 - \sin \phi_{max}}{1 + \sin \phi_{max}}$$

설계과정

• 정상 상태 오차 조건을 만족하는 K를 정한다
• 개루프 전달함수 $KG(s)H(s)$ 의 보드 선도를 그려서 위상 여유 값을 찾는다.
• 요구되는 위상 여유 값에 약간 더 여유를 더하여 $\phi_{required}-\phi_{now}+\phi_{reserve}= \phi_{max}$ 의 값을 결정
• $\phi_{max}$ 값을  $\alpha = \dfrac{ 1 - \sin \phi_{max}}{1 + \sin \phi_{max}}$에 대입하여 $\alpha$ 값을 결정
• $KG(s)H(s)$ 의 크기 보드 선도의 값이 $-0.5 \times 20 \log_{10}\dfrac{1}{\alpha}$ 이 되는 주파수를 $\omega_{max}$ 로 함
• $\omega_{max}$ 의 값을 $T = \dfrac{1}{\omega_{max}\sqrt \alpha}$ 에 대입하여 $T$값을 결정
• 결정된 진상 제어기를 적용하여 $D(s)G(s)H(s)$ 의 보드 선도를 그려서 위상 여유 값의 조건이 만족되는지 확인
• 만약 만족되지 않으면 $\phi_{max}$ 값을 좀더 증가하여 위의 과정을 반복