진상 제어기 설계 예제

진상제어기 설계

$G(s) = \dfrac{1}{s(s+1)(\dfrac{s}{5} +1)}$ 시스템에 단위 경사 입력 정상 상태 오차가 0.1이하이고 위상여유 40도 이상이 되도록 제어기를 설계한다.

시스템의 단위 경사 입력에 대한 출력은 다음과 같다. 정상상태 오차는 1이다. $K_v = \lim_{s \to 0}{s\dfrac{K}{s(s+1)(\dfrac{s}{5} +1)}}=K$

$e_{ss} = \dfrac{1}{K_v} = \dfrac{1}{K} = 0.1 \quad \Rightarrow \quad K=10$

$K = 10$ 일때의 단위 경사 입력에 대한 출력
이 상황에서의 보드 선도는 다음과 같고 위상여유는 -10도로 불안정한 시스템이된다.
위상여유를 고려한 $\phi_{max} = 40(required) - (-10)(now) + 15(reserve) = 65$ 으로 $\alpha$ 값을 구함.
$\alpha = \dfrac{1 - \sin \phi_{max}}{1 + \sin \phi_{max}} = \dfrac{1 - \sin 65^\circ}{1 + \sin 65^\circ} = 0.0491$
$-0.5 \times 20 \log_{10} {\dfrac{1}{\alpha}}=-0.5 \times 20 \log_{10} {\dfrac{1}{0.0994}}=-13.084$ 보드선도로부터 계산된 이득에 해당하는 주파수를 찾으면 $\omega_{max}=5.48$ [rad/sec]
$\omega_{max}$ 와 $\alpha$ 로부터 $T=\dfrac{1}{\omega_{max} \sqrt \alpha} = 0.823$ 가 된다.
설계된 진상제어기는 $D(s) = K \dfrac{Ts+1}{\alpha Ts+1} = 10\dfrac{0.823s+1}{0.0491 \times 0.823 s +1}$ 이다.
제어기를 설치한 시스템은 위상여유 28도, 정상상태 오차 0.1이다.

위상여유가 설계 스팩에 만족하지 않으므로 진상제어기 한기를 더 추가하여 원하는 스팩을 만족하도록 만든다.
진상제어기 1개를 더 추가하여 원하는 위상여유를 찾는다
$\omega_{max} = 40(required) - 28(now) + 15(reserve) = 27$
$\alpha = \dfrac{1 - \sin \phi_{max}}{1 + \sin \phi_{max}} = \dfrac{1 - \sin 27^\circ}{1 + \sin 27^\circ} = 0.375$
$-0.5 \times 20 \log_{10} {\dfrac{1}{\alpha}}=-0.5 \times 20 \log_{10} {\dfrac{1}{0.0994}}=-4.25$ 보드선도로부터 계산된 이득에 해당하는 주파수를 찾으면 $\omega_{max}=7.32$ [rad/sec]
$\omega_{max}$ 와 $\alpha$ 로부터 $T=\dfrac{1}{\omega_{max} \sqrt \alpha} = 0.223$ 가 된다.
설계된 진상제어기는 $D(s) = K \dfrac{Ts+1}{\alpha Ts+1} = 10\dfrac{0.223s+1}{0.375 \times 0.223 s +1}$ 이다.
설계된 시스템은 $$ D(s) =