강의노트 PID 제어기 설계 - Ziegler-Nichols tuning

Ziegler - Nichols tuning

• 참고자료 :

  • 홈페이지: https://aleksandarhaber.com/model-assisted-ziegler-nichols-pid-control-tuning-method/

  • 유튜브 : https://www.youtube.com/watch?v=YYxkS1iFdVk

실험적으로 얻은 튜닝 방법 제안하는 방법은 초기값을 얻기위한 방법임. 최적의 해는 아님

PID제어기는 다음의 형태를 가진다.

$$D(s) = K_p + K_i \dfrac{1}{s} + K_d s$$

Ziegler-Nichols 방법은 다음 표와 같이 다양한 제어기의 초기값을 설정하는 방법을 제안한다.

$s = j \omega$일때의 플랜트 $1+K G(j\omega) = 0 \quad ; \quad \omega = \dfrac{2 \pi}{T}$을 만족하는 $K$값과 $T$값을 구한다. 계산된 $K와 T$로부터 Ziegler-Nichols 테이블을 이용하여 원하는 제어기의 초기값을 정한다.

예] 플랜트 $G(s) = \dfrac{1}{s(s+2)(s+3)}$ 의 정정시간이 5초, 오버슈트가 20%이하가 되도록 PID제어기를 설계하여라.

• 시스템 분석

위 시스템은 오버슈트는 발생하지 않지만 정정시간이 15초로 빠른 정정시간이 필요하다.

$${s(s+2)(s+3)}+K = 0 \Rightarrow j \omega (j \omega+2)(j \omega+3)+K=0 \quad \Rightarrow \begin{cases}K - 5\omega^2 = 0\\ -\omega^3 + 6 \omega = 0 \end{cases}$$

여기서 $\omega = 0, \sqrt6 \quad \Rightarrow \quad K = 30$

$$\omega = 2 \pi f \quad \Rightarrow \quad f = \dfrac{\sqrt6}{2 \pi} = 0.3898$$

주기는 $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{0.3898} = 2.5651$

위 시스템을 PID제어기를 이용하여 제어한다. 위 표에 의하면 $K_p = 0.6 K \quad; \quad T_i = 0.5 T \quad; \quad T_d = 0.125 T$

그러므로, $K_p = 0.6 \times 30 = 18 \quad; \quad T_i = 0.5 \times 2.75 = 1.375 \quad; \quad T_d = 0.125 \times 2.75 = 0.3438$

Ziegler-Nichols 방법에 의한 PID제어기는

$$C(s) = K_p + \dfrac{1}{T_i \cdot s} + T_d \cdot s = \dfrac{8.508s^2 + 24.75s+18}{1.375s}$$

제어기를 포함한 시스템 응답은 56%의 오버슛에 5초의 정정시간을 가지는 것을 볼 수 있다. 오버슛이 원하는 사양보다 높기 때문에 정정할 필요가 있다.

$T_d = a \times 0.125 \times T \quad T_i = b \times 0.5 \times T$ $a$와 $b$값을 바꿔가며 제어기를 실행하여 적합한 a와 b의 값을 결정하였다.

결과는 오버슛은 20%와 정정시간을 3.5초로 원하는 스팩을 만족한다.