강의노트 토크 - 전압의 관계

회전자 등가회로는 위와 같이 표현된다. 회전자 전류($I_2$)는 식(1)과 같고 역률은 식(2)와 같다.

$$\tag{1} I_2 = \dfrac{E_{20}}{\sqrt{(\frac{R_2}{s})^2+X_{20}^2}}$$

$$\tag{2} \cos \theta = \dfrac{(\frac{R_2}{s})}{\sqrt{(\frac{R_2}{s})^2+X_{20}^2}}$$

무부하 운전

축에 부하가 걸리지 않았을때의 운전이다. 이때의 부하 전력은 식(3)과 같다.

$$\tag{3} I_{2}=\dfrac{E_{20}}{\dfrac{R_{2}}{s}+ j X_{20}}$$

슬립 s로 운전

슬립 s로 운전할 때의 회전자 전류 식(4)와 역률 식(5)에 나타나있다.

$$\tag{4} \left | I_{2}\right | =\dfrac{E_{20}}{\sqrt{(\dfrac{R_{2}}{s})^{2}+(X_{20})^{2}}}$$

$$\angle I_{2}= -\tan^{-1}\left(\dfrac{X_{20}}{\dfrac{R_{2}}{s}}\right)$$

$$\tag{5} PF =\cos(-\angle I_{2}) = \cos \left( \tan^{-1} \left( \dfrac{s X_{20}}{R_{2}}\right)\right)$$

공극전력

$$\tau_{i nd}=\dfrac{P_{m}}{\omega_{m}}=\dfrac{(1-s)P_{ag}}{(1-s)\omega_{s}}=\dfrac{P_{ag}}{\omega_{s}}=9.55\dfrac{P_{ag}}{n_{s}}$$

토크는 기계출력을 회전자 각속도로 나눈 값과 같고 공극전력을 동기각속도로 나눈값과 같다.

동기속도는 일정하므로 $\tau_{ind} \propto P_{ag}$

공극전력은 고정자회로에서 공극을 통하여 회전자에 전달되는 전력이다. (저항 $\dfrac{R_{2}}{s}$에서 소비되는 전력이다. )

공극전력은 식(6) 혹은 식(7)와 같이 표현할 수 있다.

$$\tag{6} \begin{align*} P_{ag} &=E_{20}I_{2}\cos\theta =E_{20}\dfrac{E_{20}}{\sqrt{\left(\frac{R_{2}}{s}\right)^{2}+X_{20}^{2}}}\dfrac{\frac{R_{2}}{s}}{\sqrt{\left(\frac{R_{2}}{s}\right)^{2}+X_{20}^{2}}}\\ &=\dfrac{E_{20}^{2}}{\left(\frac{R_{2}}{s}\right)^{2}+X_{20}^{2}}\dfrac{R_{2}}{s} \\ \end{align*}$$

$$\tag{7} \begin{align*} P_{ag} &=I_{2}^2 \dfrac{R_2}{s} = \dfrac{E_{20}^2}{(\frac{R_2}{s})^2+X_{20}^2}\dfrac{R_2}{s}\\ \end{align*}$$

식(6)에서 공극전력은 회전자 인가 전압에 비례한다. $\quad P_{ag}\propto E_{20}^{2}$

토크는 식(8)와 같다.

$$\tag{8} \tau_{ind} = \dfrac{P_{ag}}{\omega_s} = \dfrac{E_{20}^2}{\omega_s \left( (\frac{R_2}{s})^2+X_{20}^2 \right)}\dfrac{R_2}{s}$$

그러므로 $\tau_{i nd}\propto P_{ag} \propto E_{20}^{2}$가 된다.

정상 운전범위 내에서 슬립은 매우 작아서 $\dfrac{R_2}{s} \gg X_{20}$ 이므로 토크는 식(9)와 같다.

$$\tag{9} \tau_{ind} = \dfrac{E_{20}^2}{\omega_s (\frac{R_2}{s})^2}\dfrac{R_2}{s} = \dfrac{E_{20}^2}{\omega_s R_2} s$$

토크는 단위에 따라 상수들이 바뀐다.

$$\tag{10} \tau_{ind} = \dfrac{P_m}{\omega_m} = \dfrac{(1-s)P_{ag}}{(1-s)\omega_{s}} = \dfrac{P_{ag}}{\omega_s}\\ = \dfrac{60P_{m}}{2\pi n} = 9.55\dfrac{P_{m}}{n}[N.m] = 9.55\dfrac{P_{ag}}{n_{s}}[N.m] \\ \\ = \dfrac{9.55}{9.8}\dfrac{P_{ag}}{n_{s}}[kg.m] = 0.975 \dfrac{P_{ag}}{n_{s}}[kg.m]$$

$$\tag{11} P_{ag}= 1.026 n_{s}\tau_{i nd}[kg.m] = 0.1047n_{s}\tau_{i nd}[N.m]$$