강의노트 토크 - 슬립의 관계

유도기를 고정자측으로 표현한 등가회로이다.

자화전류 $I_M$은 공극의 자속밀도는 $E_1$에 비례한다. 부하의 변화는 고정자 임피던스에 의한 전압강하는 상대적으로 작아서 $E_1$은 거의 일정하다고 볼 수 있다.

$E_1$ 왼편에 해당하는 부분을 테브나 등가로 표현하면 식(1)과 같다.

$$\tag{1} V_{TH}=\dfrac{j X_{M}}{R_{1}+j(X_{1}+ X_{M})}V_{1} = \dfrac{X_{M}}{\sqrt{R_{1}^{2}+(X_{1}+ X_{M})^{2}}}V_{1}$$

고정자의 권선 저항은 누설리액턴스에 비해 상당히 작은므로($X_{1}+ X_{M}\gg R_{1}$) $V_{TH}$는 식(2)와 같이 나타낼 수 있다.

$$\tag{2} V_{TH}\approx V_{1}\dfrac{X_{M}}{X_{1}+ X_{M}}$$

공극 이전 부분을 테브난 등가로 표현하고 회전자 측을 고정자측으로 변환한 유도기 등가회로는 다음과 같다.

위 등가회로에서 고정자 전류는 식(3)과 같다.

$$\tag{3}I_{1}=\dfrac{V_{TH}}{\sqrt{\left(R_{TH}+ \frac{R_{2}^{'}}{s}\right)^{2} + \left(X_{TH}+X_{2}^{'}\right)^{2}}}$$

공극전력에 식(3)에서 구한 전류를 대입하면 식(4)를 얻게된다.

$$\tag{4} P_{ag}= 3I_{1}^{2}\dfrac{R_{2}^{'}}{s} =\dfrac{3V_{TH}^{2}}{\left(R_{TH}+\frac{R_{2}^{'}}{s}\right)^{2}+\left(X_{TH}+ X_{2}^{'}\right)^{2}}\cdot\dfrac{R_{2}^{'}}{s}$$

토크와 공극전력의 관계는 식(5)와 같다.

$$\tag{5} \begin{align*} \tau_{ind}&=\dfrac{P_{ag}}{\omega_{s}} \\&=\dfrac{3V_{TH}^{2}}{\omega_{s}\left[\left(R_{TH}+ \dfrac{R_{2}^{'}}{s}\right)^{2}+\left(X_{TH}+ X_{2}^{'}\right)^{2}\right]}\cdot \dfrac{R_{2}^{'}}{s}\\&=\dfrac{60}{2\pi n_{s}}\cdot \dfrac{3V_{TH}^{2}}{\left(R_{TH}+ \dfrac{R_{2}^{'}}{s}\right)^{2}+\left(X_{TH}+ X_{2}^{'}\right)^{2}}\cdot \dfrac{R_{2}^{'}}{s} \end{align*}$$

기동토크( $s =1$)

기동토크는 식(6)과 같다.

$$\tag{6} \tau_{s=1}=\dfrac{60}{2\pi n_{s}}\dfrac{3V_{TH}^{2}}{(R_{TH}+ R_{2}^{'})^{2}+(X_{TH}+ X_{2}^{'})^{2}}\cdot R_{2}^{'}$$

최대토크( $s=s_{max}$)

최대 토크가 발생하는 슬립($s_{max}$)는 식(7)에서 구할 수 있다.

$$\tag{7} \dfrac{d}{ds}\tau_{ind} = 0$$

식(7)을 만족하는 $s$가 $s_{max}$이다.

$$\tag{8} s_{\max}=\dfrac{R_{2}^{'}}{\sqrt{R_{TH}^{2}+(X_{TH}+ X_{2}^{'})^{2}}}$$

탈출토크는 식(5)에 식(8)의 결과를 적용하면 식(9)의 결과를 얻는다.

$$\tag{9} \tau_{\max}=\dfrac{3V_{TH}^{2}}{2\omega_{s}[R_{TH}+\sqrt{R_{TH}^{2}+(X_{TH}+ X_{2})^{2}}]}$$

최대토크(정동토크:stalling torque)는 공급전압 제곱에 비례 , 고정자 임피던스($R_{TH}, X_{TH}$)에 반비례 , 회전자 리액턴스($X_2$)에 반비례하지만 회전자 저항과는 상관없다.

토크 운전영역 분석

무부하에서는 회전자 슬립이 작아서 주파수도 작다. 회전자 주파수가 작아서 회전자 리액턴스는 거의 0이다. 최대 회전자 전류는 회전자 전압과 거의 동상이다.

부하가 증가하면 전동기의 회전자 속도가 감소하고 슬립이 증가한다. 슬립의 증가는 회전자 주파수의 증가를 회전자 리액턴스도 증가하므로 회전자 전류는 전압보다 더 지연된다.

회전자 역률은 식(10)과 같다.

$$\tag{10} PF_r = \cos \theta_R = \cos \left( \tan^{-1} \dfrac{sX_{20}}{R_2} \right)$$

토크는 주어진 슬립에서 인가전압의 제곱비례한다.

토크의 동작영역은 저슬립영역, 중간슬립영역과 고슬립영역으로 나눌 수 있다.

회전자 속도가 동기속도보다 빠르면 유도 발전기가 된다.

토크는 동기속도에서 0이다.

저 슬립영역 :

부하증가에 슬립, 회전자 전류는 선형적으로 증가한다.

회전자의 속도도 선형 감소한다.

슬립이 작기때문에 주파수가 작아서 회전자 리액턴스는 무시할 수 있어서 회전자 역률은 거의 1이다.

유도전동기 정상상태 동작영역은 이 영역에 포함된다.

중간슬립영역 :

회전자 주파수가 저 슬립영역보다 높아져 회전자 리액턴스와 저항은 비슷한 크기를 가진다.

이 영역에서 회전자 전류는 급격하게 증가하지 않으며 역률은 감소하기 시작한다.

탈출토크(pullout torque), 항복토크(breakdown torque)는 회전자 전류의 증가와 회전자 역률의 감소가 정확히 균형을 이루는 점에서 발생한다. (일반적인 유도기는 정격부하토크의 200%~ 250%가 된다.)

고 슬립영역

부하증가하면 유도토크는 감소한다.

일반적인 유도기의 기동토크는 전부하토크의 150%정도가 되어 전부하가 걸리는 경우에도 기동이 가능하다.