강의노트 행렬의 종류

정의

수를 행과 열로 배열한 것을 행렬이라 한다. 행렬은 식(1)과 같이 표현된다.

$$\tag{1} A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2}& \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} = (a_{ij})$$

종류

행벡터 : 행렬 중에서 행이 하나뿐인 행렬, $m =1$

열벡터 : 행렬 중에서 열이 하나뿐인 행렬, $n=1$

정방행렬 : 행의 수와 열의 수가 같은 행렬, $m=n$

대각행렬 : 대각 요소 이외의 모든 요소가 0인 행렬, $a_{ij} = 0, i\neq j$

단위행렬 : 대각행렬중에서 대각요소가 1인 행렬, $a_{ii}=1, a_{ij}=0, i \neq j$

전치행렬 : 행과 열을 교환하여 만든 행렬, $A^T$

대칭행렬 : 어떤 행렬과 전치행렬이 같은 행렬, $A = A^T$

상등

두 개의 $m \times n$행렬 $A = (a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대해 모든 $i$와 $j$에 대해 $a_{ij}=b_{ij}$이면 $A=B$이다.

곱셈

$m \times p$행렬 $A$와 $p \times n$행렬 $B$에 대해 $A$와 $B$의 곱$C=AB$는 $m \times n$행렬이며, 다음과 같이 정의한다.

$$\begin{aligned} c_{ij} &= \begin{bmatrix} a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{ip} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots \\ b_{pj}\end{bmatrix}\\ &=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ip}b_{pj} \\ &= \sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}\end{aligned}$$

$$AB \neq BA$$

전치행렬

$$A = (a_{ij})$$

$$A^T = (a_{ji})$$

전치행렬의 성질

$$(A^T)^T = A$$

$$(A+B)^T = A^T+B^T$$

$$(AB)^T=B^TA^T$$

$$(\alpha A)^T=\alpha A^T$$