강의노트 상태 변수 방정식

상태 변수 방정식

개요

입력, 출력의 관계를 상태변수를 이용하여 시스템을 표현한다.

상태변수 방정식은 상태변수들의 1차 연립미분방정식으로 구성한다.

전달함수의 문제점

입출력 신호의 비율만 같으면 전달함수는 같다. 그러므로 시스템의 내부에서 실제로 일어나는 상황에 대해서 정확히 나타내기 어려움이 있다.

시스템의 내부 동특성을 나타낼 수 있는 최소 개수의 독립 변수(상태변수) 집합을 이용하여 시스템의 특성을 나타내면 변수에 따른 시스템의 동특성을 확인할 수 있다.

예1] 다음 시스템의 상태변수 방정식을 구하여라.

풀이 1)

$$i_c = i_L - i_r \Rightarrow C\dfrac{dv_c}{dt}=i_L - \dfrac{1}{R}v_c$$

$$v_L = v - v_c \Rightarrow L\dfrac{di_L}{dt} = 0 i_L - v_c + v$$

$$\begin{cases} \dfrac{dv_c}{dt}=-\dfrac{1}{RC}v_c + \dfrac{1}{C}i_L \\ \\\dfrac{di_L}{dt} = -\dfrac{1}{L}v_c + \dfrac{0}{L} i_L + \dfrac{1}{L}v \end{cases}$$

$$\begin{bmatrix} \dfrac{dv_c}{dt} \\ \\\dfrac{di_L}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{RC} & \dfrac{1}{C} \\ \\ -\dfrac{1}{L}& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_c \\ i_L \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ \\\dfrac{1}{L} \end{bmatrix}v$$

풀이 2)

$$\begin{bmatrix} \dfrac{dv_c}{dt} \\ \\\dfrac{di_c}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{C} \\ \\ -\dfrac{1}{L}& -\dfrac{1}{RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_c \\ i_c \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ \\\dfrac{1}{L} \end{bmatrix}v$$

풀이1과 풀이2에서 보듯이 상태변수를 바꾸면 상태변수 방정식의 행렬의 값들이 바뀐다.

[예 2]

$$F - B(\dot {y_1} - \dot {y_2}) - K (y_1 - y_2 ) = m_1 \ddot{y_1}$$

$$B(\dot{y_1} - \dot{y_2})+ K(y_1 - y_2)=m_2 \ddot{y_2}$$

$$x_1 = y_1 \quad x_2 = \dot{y_1} \quad x_3 = {y_2} \quad x_4 = \dot{y_2}$$

$$\begin{aligned} \dot{x_1} &= x_2 \\ \dot{x_1} &= - \dfrac{K}{m_1}x_1 - \dfrac{B}{m_1}x_2 + \dfrac{K}{m_1}x_3 + \dfrac{B}{m_1}x_4+ \dfrac{F}{m_1} \\ \dot{x_3} &= x_4 \\ \dot{x_4} &= \dfrac{K}{m_2}x_1 + \dfrac{B}{m_2}x_2 - \dfrac{K}{m_2}x_3 - \dfrac{B}{m_2}x_4 \end{aligned}$$

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \\- \dfrac{K}{m_1}& - \dfrac{B}{m_1} & \dfrac{K}{m_1} & \dfrac{B}{m_1} \\ \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \\ \dfrac{K}{m_2} & \dfrac{B}{m_2} &-\dfrac{K}{m_2} & -\dfrac{B}{m_2} \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0\\ \\ \dfrac{1}{m_1} \\ \\0 \\ \\0 \end{bmatrix}F$$

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0 & 0& 0 \\ \\ 0 & 0& 1 & 0\end{bmatrix} x$$

상태 변수 방정식 : 상태 변수를 이용하여 시스템의 동특성을 나타낸 식

$$\dot X(t) = AX(t) + BU(t) \\ Y(t) = CX(t) + D U(t)$$