강의노트 각종 그래프

위 회로에서 입력전압이 $u$이고 출력전압이 $y$일 때 전달함수는

$$C \frac{dy}{dt} = \frac{u - y}{R}$$

$$R C ( s Y(s) ) = U(s) - Y(s)$$

$$\tag{1} \frac{Y(s)}{U(s)} = G(s) = \frac{1}{RCs+1}$$

식(1)에서 s를 $j \omega$ 로 바꿔서 계산을 한다. 결과를 실수와 허수로 나타내면 식(2)와 같다.

$$\tag{2} G(j \omega ) = \frac{1}{RC(j \omega ) + 1} = \frac{1}{1+ (RC \omega )^2 } + j \frac{-RC \omega}{1 + (RC \omega )^2}$$

식(2)의 전달함수를 데시벨 크기와 위상각으로 나타내면 식(3)과 (4)와 같다.

$$\vert G(j \omega ) \vert = \vert \frac{1}{j RC \omega + 1} \vert = \frac{1}{ \sqrt{(RC \omega )^2 +1} }$$

$$\tag{3} \begin{align*}\vert G( j \omega ) \vert_{dB} &= 20 \log _{10} \vert G(j \omega ) \vert \\ &= 20 \log _{10} \vert \frac{1}{j RC \omega + 1} \vert \\ &= 20 \log _{10} 1 - 20 \log _{10}\sqrt{(RC \omega)^2+1}\\ &= -10 \log _{10} ((RC \omega)^2 +1)\end{align*}$$

$$\tag{4} \angle G(j \omega ) = \angle (\frac{1}{jRC\omega + 1}) = - \tan^{-1} {RC\omega}$$

위의 회로에서 $R = 1000 [ \Omega ] , C = 1[mF]$일때의 $\omega$가 0.001에서 10000까지 변활때 전달함수의 실수값, 허수값, 이득과 위상각을 계산한다. 이득은 데시벨 이득도 계산한다.

위 표에서 특별히 보고싶은 것들의 그래프를 그려본다.

1. 주파수 로그 스케일 대 데시벨 이득

2. 주파수 로그 스케일 대 위상각(도)

3. 위상각(도) 대 이득

4. 실수 크기 대 허수 크기

(1)번과 (2)번 그래프는 보드선도, (3)번 그래프는 니콜스 선도 그리고 (4)번 그래프는 나이퀴스트 선도이다.