Lecture 행렬의 고유값과 고유벡터

고유값과 고유벡터

고유값과 고유벡터

$A_{n \times n} \quad K_{n \times 1}\quad K \neq 0 \quad \Rightarrow AK, \quad K$가 평행한 경우

$$AK = \lambda K$$

위의 식을 만족하는 $\lambda$를 $A$의 고유값(eigenvalue)이라 한다.

$$AK = \lambda K \quad \Rightarrow \quad AK - \lambda K = 0 \quad \Rightarrow \quad (A - \lambda I )K = 0$$

• $K \neq 0$인 해가 존재한다면 $det(A- \lambda I)=0$을 만족하는 $\lambda$를 $A$행렬의 고유값, $det(A- \lambda I)=0$를 특성방정식이라 한다.
• $K$를 $\lambda$에 대응하는 고유벡터(eigenvector)라 한다.

• 다음 행렬의 고유값과 고유벡터를 구한다. $A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0\\ 0& -4 & 7\\ 4& -1& 0 \end{bmatrix}$

$$det(A- \lambda I)=0 \Rightarrow \begin{vmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0\\ 0& -4 & 7\\ 4& -1& 0 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -1 & 0\\ 0& -4-\lambda & 7\\ 4& -1& -\lambda \end{vmatrix}$$

$$\begin{matrix} &= &(4-\lambda)(4+\lambda)(\lambda)+4 \cdot (-1) \cdot 7 + 0 \cdot 0 \cdot (-1) \\ && - (4-\lambda)\cdot (-1) \cdot 7 - 0 \cdot (-1) \cdot (-\lambda) -0 \cdot (-4-\lambda) \cdot 4 \\ &= & -\lambda^3 +16\lambda -28 +28 -7\lambda \\ &= & \lambda(\lambda^2 -9) \end{matrix}$$

고유값은 0,-3,3이다.

$\lambda = 0$일 때

$$AK_1 = \lambda_1 K_1 \quad \Rightarrow \quad AK_1 = 0$$

$$K_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \neq 0$$

$$\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0\\ 0& -4 & 7\\ 4& -1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\begin{cases} 4x_1 - x_2 &= 0\\ -4x_2 + 7x_3 &= 0\end{cases}$$

$$x_1 = 1, x_2 = 4, x_3 = \dfrac{16}{7}$$

$\lambda = 3$일 때

$$AK_2 = \lambda_2 K_2 \quad \Rightarrow \quad AK_2 = 3K_2$$

$$K_2 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \neq 0$$

$$\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0\\ 0& -4 & 7\\ 4& -1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3x_1 \\ 3x_2\\ 3x_3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{cases} 4x_1 - x_2 &= 3x_1\\ -4x_2 + 7x_3 &=3x_2 \\ 4x_1 -x_2 &= 3x_3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 - x_2 &= 0\\ -7x_2 + 7x_3 &=0 \\ 4x_1 -x_2 - 3x_3&=0 \end{cases}$$

$$x_1 = x_2 = x_3 \quad \Rightarrow \quad K_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$$

$\lambda = -3$일 때

$$AK_3 = \lambda_3 K_3 \quad \Rightarrow \quad AK_3 = -3K_3$$

$$K_3 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \neq 0$$

$$\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0\\ 0& -4 & 7\\ 4& -1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3x_1 \\ -3x_2\\ -3x_3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{cases} 4x_1 - x_2 &= -3x_1\\ -4x_2 + 7x_3 &=-3x_2 \\ 4x_1 -x_2 &= -3x_3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7x_1 - x_2 &= 0\\ -x_2 + 7x_3 &=0 \\ 4x_1 -x_2 + 3x_3&=0 \end{cases}$$

$$x_1 = 1이면 x_2 = 7, x_3=1 \quad \Rightarrow \quad K_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 7\\ 1 \end{pmatrix}$$

행렬의 계수

• $m \times n$행렬 $A$의 $m$개의 행벡터 중에서 일차독립인 행의 최대 개수를 $A$의 계수(rank) 라고 한다.

다음 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하여라.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1& 3 \end{pmatrix}$$

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 8 & -2\\ 8& -4 & 10\\ -2& 10& -7 \end{pmatrix}$$

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\ -2& 1& -2\\ -2& -2& 1 \end{pmatrix}$$