Lecture 제어 가능 표준형

제어 가능 표준형(Controllable Canonical Form)

분자가 1인 경우의 제어 가능 표준형

전달함수는 식(1)과 같다.

$$\tag{1} G(s) = \dfrac{Y(s)}{U(s)}= \dfrac{1}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0}$$

전달함수가 식(1)과 같을때 제어가능 표준형으로 바꾸는 방법은 다음과 같다.

식(1)을 크로스로 곱해주고 역 라플라스 변환을 실행한다.

$$\tag{2} \dfrac{d^ny(t)}{dt^n} + a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}} +  \ldots  + a_1\dfrac{dy(t)}{dt} + a_0y(t) = u(t)$$

상태변수를 식(3)과 같이 정의한다.

$$\tag{3}\begin{aligned}&x_1(t) =y(t) \\ &x_2(t) = \dot x_1(t)= \dot y(t) \\ & \vdots \\ &x_n(t) = \dot {x_{(n-1)}(t)}=y^{(n-1)}(t) \\  &y^{(n)}(t) =-a_0y(t) -a_1\dot {y(t)}-...-a_{n-1} {y^{(n)}(t)}+u(t) \\ &=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u(t)\end{aligned}$$

마지막 행은 식(2)로부터 얻을 수 있다. 이를 행렬로 나타낸다

$$\tag{4} \begin{bmatrix} \dot{x_1}\\  \dot{x_2}  \\ \vdots\\ \dot{x_{n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1& 0& \ldots & 0 \\ 0 & 0& 1& \ldots & 0 \\ & & & \vdots & \\ -a_0& - a_1 & - a_2 &\ldots & - a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x_1}\\  {x_2}  \\ \vdots\\ {x_{n}} \end{bmatrix} + u(t)$$

$$\tag{5} y(t) = \begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x_1}\\  {x_2}  \\ \vdots\\ {x_{n}}\end{bmatrix} + [0]u(t)$$

식(4),(5)를 행렬로 표현하면 식(6)와 같다.

$$\tag{6} \begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X + D U \end{cases}$$

여기서, $A = \begin{bmatrix} 0& 1& 0& 0&\ldots& 0 \\0 &0 &1 &0& \ldots & 0 \\&&&& \vdots& \\1 &-a0 &-a1& -a2& \ldots &-a_{n-1} \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ \vdots\\ \\1 \end{bmatrix}$, $C= \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0& \ldots& 0\end{bmatrix}$, $D=[0]$

분자가 m차인 경우

전달함수가 식(7)과 같은 경우

$$\tag{7} G(s) = \dfrac{Y(s)}{U(s)}= \dfrac{b_ms^m + b_{m-1}s^{m-1} + \ldots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0}$$

전달함수에 $\dfrac{Z(s)}{Z(s)}$를 분모 분자에 곱해준다.

$$G(s) = \dfrac{Y(s)}{U(s)}= \dfrac{b_{n-1}s^{n-1} + b_{n-2}s^{n-2} + \ldots + b_1s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0} \cdot \dfrac{Z(s)}{Z(s)}$$

식(8)과 같이 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 두개의 식으로 만든다.

$$\tag{8} U(s)=(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0)Z(s)\\ Y(s)=(b_{n-1} s^{n-1}+b_{n-2}s^{n-2}+\ldots+b_1s+b_0)Z(s)$$

첫번째 식은 분자가 1인 경우와 같이 $U(s)$와 $Z(s)$에 대하여 상태변수로 표현한다.

$$\tag{9} \dfrac{d^nz(t)}{dt^n} +a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}z(t)}{dt^{n-1}} + \ldots + a_1\dfrac{dz(t)}{dt} + a_0z(t) =u(t)$$

상태변수로 식(10)과 같이 정의한다.

$$\tag{10} x_1(t) = z(t)\\ \dot{x_1}= x_2(t) = z^{(1)}(t)\\ \dot{x_2}= x_3(t) = z^{(2)}(t)\\ \vdots \\ \dot{x_{n-1}} = x_n(t) = z^{(n-1)}(t) \\ \dot{x_{n}} = z^{(n)}(t) = u(t) - a_0 z - a_1 \dot {z} - \ldots - a_{n-1} z^{n-1} \\ = u(t) - a_0 x_1 - a_1 x_2 - \ldots - a_{n-1} x_n$$

위 식을 행렬식으로 표현하면 식(11)과 같다.

$$\tag{11} \begin{bmatrix} \dot{x_1}\\  \dot{x_2}  \\ \vdots\\ \dot{x_{n-1}}\\ \dot{x_{n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1& 0& \ldots & 0 \\ 0 & 0& 1& \ldots & 0 \\ & & & \vdots & \\ 0& 0& 0& \ldots & 1 \\ -a_0& - a_1 & - a_2 &\ldots & - a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x_1}\\  {x_2}  \\ \vdots \\ {x_{n-1}}\\ {x_{n}} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ 0\\ \vdots \\0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t)$$

여기서, $A = \begin{bmatrix} 0 & 1& 0& \ldots & 0 \\ 0 & 0& 1& \ldots & 0 \\ & & & \vdots & \\ 0& 0& 0& \ldots & 1 \\ -a_0& - a_1 & - a_2 &\ldots & - a_{n-1} \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ \vdots \\0 \\ 1 \end{bmatrix}$

앞에서 정의한 $x$ 상태변수를 이용하여 식(8)의 두번째 식을 표현하면 식(12)와 같다.

$$\tag{12} y(t) = b_{n-1}\dfrac{ d^{n-1}z(t)}{dt^{n-1}}+b_{n-2}\dfrac{ d^{n-2}z(t)}{dt^{n-2}}+\ldots+b_1\dfrac{ dz(t)}{dt}+b_0z(t) \\ = b_{n-1} z^{n-1}(t)+b_{n-2} z^{n-2}(t)+\ldots+b_1  \dot {z(t)}+b_0z(t) \\ = b_{n-1} x_{n}+b_{n-2} x_{n-1}+\ldots+b_1  x_2+b_0x_1$$

$$y(t) = \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & \ldots & b_{n-2} & b_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_1}\\  {x_2}  \\ \vdots\\ {x_{n}} \end{bmatrix} + [0]u(t)$$

$C= \begin{bmatrix} b_0 &b_1 &b_2 &b_2& \ldots& b_{n-1}\end{bmatrix}$, $D=[0]$