Lecture 상태 변수 추정기 기반 제어기

상태변수 추정기 기반 제어기

기준 입력이 0인 경우

상태 변수 피드백 제어기를 구현하기 위해서 모든 상태 변수를 측정해야 한다.

상태 변수 피드백 제어기와 상태 변수 추정기를 결합한 상태 변수 추정기 기반 제어기(estimator based controller)를 만든다.

기준입력이 0이면

$$U=-K \hat X$$

K와 L을 구해야한다.

$$\dot X =AX-BK \hat X = (A-BK)X + BK(X-\hat X)$$

$$\dot{ \hat X} = A \hat X -BK \hat X +L(CX - C \hat X)\\= LCX+(A-BK-LC) \hat X$$

상태 변수는 $X$와$\hat X$, 전체 시스템의 차수는 원래 시스템 차수의 두배가 된다.

추정 오차 $E=X-\hat X$를 상태 변수로 쓰면 위의 상태 변수 방정식은 좀더 다루기 편한 형태로 바뀜

$$\begin{aligned} \dot E &= \dot X - \dot{\hat X} \\ &=AX-BK \hat X-LCX-(A-BK-LC) \hat X \\ &=(A-LC)(X- \hat X) \\ &=(A-LC)E \end{aligned}$$

$$\begin{bmatrix} \dot X \\ \dot E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A-BK & BK \\ 0 &A-LC \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X\\ E\end{bmatrix}$$

고유값을 구하기 위한 특성 방정식은

$$\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}sI &0 \\ 0 &sI \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} A-BK & BK \\ 0 &A-LC \end{bmatrix} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} sI-(A-BK) &-BK \\ 0 &sI-(A-LC) \end{vmatrix} =0$$

$$|sI-(A-BK)||sI-(A-LC)|=0$$

전체 폐루프 시스템이 가지는 극점은 다음 두 개의 특성 방정식의 근들을 모두 함께 모아 놓은 것과 같다.

$|sI-(A-BK)|=0 →$ 상태 변수 피드백 제어기

$|sI-(A-LC)|=0 →$상태 추정기

상태 변수 피드백 제어기와 상태 변수 추정기는 서로 영향을 미치지 않으며 별도로 설계할 수 있다.

$$\begin{cases} \dot{\hat X}=(A-BK-LC)\hat X + LY \\ U=-K\hat X \end{cases}$$

$$\dfrac{U(s)}{Y(s)}=-K[sI-(A-BK-LC)]^{-1}L$$

기준입력이 0이 아닌 경우

$$U=R_0-K\hat X$$

$D_f(s)$는 정상 상태 오차를 줄이거나 없애기 위한 피드퍼워드 항

$$\tag{1} \dot X=A X+B(R_0-K\hat X)$$

$$\tag{2} \dot{\hat X}=A\hat X+B(R_0-K\hat X)+L(CX -C\hat X) \\= LCX+(A-LC)\hat X+B(R_0-K\hat X)$$

$E=X-\hat X$이라하고 (1)에서 (2)를 빼면

$$\dot E=(A-LC)E$$

$$E(s)=[sI-(A-LC)]^{-1}e(0)$$

$$Y(s)=CX(s)$$

$$\dfrac{Y(s)}{R_0(s)}=C[sI-(A-BK)]^{-1}B$$