Lecture Routh-Hurwitz 판별법

라우스-후르비츠 판별법

절대 안정도를 판단한다.

라우스-후르비츠 안정도 판별법은 다음 조건을 만족해야한다.

• 모든 계수의 부호가 같다.
• 어떤 항의 계수도 0이 아니다.
• 라우스 표의 제 1열에서 부호가 변하지 않는다.

라우스 표 작성방법

특성방정식이 식(1)과 같다.

$$\tag{1} a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + a_{n-2}s^{n-2} + a_{n-3}s^{n-3} + \cdots + a_{1}s + a_0 = 0$$

특성방정식의 계수들을 다음과 같이 표를 채운다.

표의 첫열의 첫번째 행은 $s^n$, 두번째 행은 $s^{n-1}$, ... , n번째 행은 $s^0$이 된다.

처음 두 행($s^n$과 $s^{n-1}$행)의 두번째 열은 특성방정식의 처음 두개의 계수($a_n$와 $a_{n-1}$)로 채운다.

다음 세번째 열은 특성방정식의 세번째와 네번째의 계수($a_{n-2}$와 $a_{n-3}$)로 채운다. 이와같이, 마지막 계수까지 처음 두 행에 채운다.

$s^{n-2}$행의 다음 식(2)같이 표를 작성한다.

$$\tag{2} b_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} a_n & a_{n-2}\\ a_{n-1}& a_{n-3}\end{vmatrix}}{a_{n-1}} \quad b_2 = -\dfrac{\begin{vmatrix} a_n & a_{n-4}\\ a_{n-1}& a_{n-5}\end{vmatrix}}{a_{n-1}} \quad b_3 = -\dfrac{\begin{vmatrix} a_n & a_{n-6}\\ a_{n-1}& a_{n-7}\end{vmatrix}}{a_{n-1}}$$

$$c_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3}\\ b_{1}& b_{2}\end{vmatrix}}{b_{1}} \quad c_2 = -\dfrac{\begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-5}\\ b_{1}& b_{3}\end{vmatrix}}{b_{1}} \quad c_3 = -\dfrac{\begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-7}\\ b_{1}& b_{4}\end{vmatrix}}{a_{n-1}}$$

특이한 경우

첫 번째 원소가 0인 경우

$$s^4 + s^3 + 2s^2 + 2s + 5 = 0$$

$$b_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2 \end{vmatrix}}{1} = 0 \quad b_2 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 1& 0 \end{vmatrix}}{1} = 5$$

$c_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 5 \end{vmatrix}}{0}$ 분모가 0이므로 계산이 불가 $b_1$을 $\epsilon>0$으로 대치한다.

$$c_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2\\ \epsilon & 5 \end{vmatrix}}{\epsilon } = 2- \dfrac{5}{\epsilon} = -\infty \quad c_2 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 0\\ \epsilon & 0 \end{vmatrix}}{\epsilon } = 0$$

$$d_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} \epsilon & 5\\ c_1 & 0 \end{vmatrix}}{c_1} = 5$$

• 첫 번째 열의 부호가 두번 바뀌는 것을 알 수 있다. 그러므로 s-평면 우반부에 두 개의 근이 존재한다.

• 위 식의 근의 위치는 [-1.075+1.074j, -1.075-1.074j, 0.575+1.354j, 0.575-1.354j]이므로 우반부에 두 개의 근이 있다.

어떤 행 전체가 0이 되는 경우

$$s^5 + 2s^4 + 5s^3 + 10s^2 + 8s + 16 = 0$$

$$b_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 10 \end{vmatrix}}{2} = 0 \quad b_2 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 8\\ 2& 16 \end{vmatrix}}{2} = 0 \quad b_3 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2& 0 \end{vmatrix}}{2} = 0$$

• 한 행의 모든 원소가 0인 경우, 보조식을 만든다.
• 모든 원소가 0인 행 바로 윗행 차수를 최고차항으로하는 식을 만들고 미분하여 계수들을
• 다음 행에 기입한다

$$A(s) = 2s^4 + 10s^2 + 16$$

$$\dfrac{d}{dt}A(s) = 8s^3 + 20s$$

$$b_1 = 8 \quad b_2 = 20 \quad b_3 =0$$

$$c_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 10\\ 8 & 20 \end{vmatrix}}{8} = 5 \quad c_2 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 16\\ 8& 0 \end{vmatrix}}{8} = 16 \quad c_3 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 0\\ 8& 0 \end{vmatrix}}{8} = 0$$

$$d_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 8 & 20\\ 5 & 16 \end{vmatrix}}{5} = -5.6 \quad d_2 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 8 & 0\\ 5& 0 \end{vmatrix}}{5} = 0$$

$$e_1 = -\dfrac{\begin{vmatrix} 5 & 16\\ -5.6 & 0 \end{vmatrix}}{-5.6} = 16$$

• 첫 번째 열의 부호가 두 번 바뀐다. 즉, 특성방정식의 근이 복소평면 우반부에 2개가 있다.

• 위 식의 근은 [-2 , 0.405+1.632j, 0.405-1.632j, -0.405+1.632j, -0.405-1.632j]이므로 우반부에 두 개의 근이 있다.