강의노트 상태 변수의 변환

상태 변수의 변환

동일한 시스템에 대한 상태 변수 방정식은 여러 가지 형태가 있을 수 있다.

상태 변수의 정의에 따라서 상태 변수 방정식이 달라진다.

$$\begin{cases} \dot X  = A_xX+B_xU \\ Y=C_xX+D_xU \end{cases}$$

상태변수 $X$로 표현된 식을 상태변수 $Z$로 변환하여 표현한다.

$X$가 $X = PZ \quad,\quad Z = P^{-1}X$로 바꿔주는 행렬 $P$가 존재한다고 가정한다. 여기서 $P$ 는 변환 행렬(transformation matrix)이다.

$$\begin{cases} \dot Z = P^{-1} \dot X  = P^{-1}(A_xX+B_xU)= P^{-1}A_xPZ+P^{-1}B_xU \\ Y=C_xPZ+D_xU \end{cases}$$

$A_z, B_z, C_z, D_z$를 다음과 같이 정의 한다.

$$A_z = P^{-1}A_xP , B_z = P^{-1}B_x , C_z = C_xP , D_z=D_x$$

시스템은 다음과 같이 표현된다. $\begin{cases} \dot Z = A_zZ+B_zU \\ Y=C_zZ+D_zU \end{cases}$

변환 행렬에 의한 새로운 상태 방정식을 만들어도 고유값은 변하지 않는다.

$$|sI-A_z| = |sI-P^{-1}A_xP| = |sP^{-1}P-P^{-1}A_xP| = \\= |P^{-1} (sI-A_x)P| =  |P^{-1}||sI-A_x||P| = |sI-A_x|$$

또한, 상태 변수를 바꾸어도 전달함수는 바뀌지 않는다.

$$\begin{aligned} G(s) &= C_z(sI-A_z)^{-1}B_z+D_z \\ &= C_xP (sI-P^{-1} A_xP)^{-1} P^{-1}B_x+D_x \\ &= C_xP(sP^{-1}P-P^{-1}A_xP)^{-1}P^{-1}B_x+D_x \\ & = C_xP[P^{-1}(sI-A_x)P]^{-1}P^{-1}B_x+D_x \\ & = C_xPP^{-1}(sI- A_x)^{-1} P P^{-1} B_x+D_x \\  &= C_x(sI-A_x)^{-1}B_x+D_x \end{aligned}$$

상태 변수 변환으로 제어 가능성과 관측 가능성도 바뀌지 않는다.

$$\begin{aligned} M_{cz} &= \begin{bmatrix}B_z &A_zB_z &A_z^2B_z & \ldots &A_z^{n-1}B_z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}P^{-1}B & P^{-1}APP^{-1}B &  (P^{-1}AP)^2P^{-1}B & \ldots & (P^{-1}AP)^{n-1}P^{-1}B \end{bmatrix} \\ &= P^{-1} \begin{bmatrix}B &AB & A^2B &\ldots & A^{n-1}B \end{bmatrix} \\ &= P^{-1}M_{cx} \end{aligned}$$

$$|M_{cz}| = |P^{-1}M_{cx}| = |P^{-1}| |M_{cx}|$$

$$\begin{aligned} M_{OZ} &=  \begin{bmatrix} C_z \\ C_zA_z \\ C_zA_z^2 \\ \vdots \\ C_zA_z^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_xP \\ C_xP(P^{-1}A_xP) \\C_xP(P^{-1}A_xP)^2 \\ \vdots \\ C_xP(P^{-1}A_xP)^{n-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_x \\ C_xA_x \\ C_xA_x^2 \\ \vdots \\ C_xA_x^{n-1}\end{bmatrix} P = M_{OX}P \end{aligned}$$

$$|M_{Oz}| = |M_{Ox}P| = |M_{Ox}||P|$$

새로운 상태 변수를 정의한다는 것은 원래의 상태 변수들의 선형 조합을 취해서 새로운 독립 변수들의 상태 변수 조합을 만드는 것이다.

변환 행렬$P$의 역행렬이 존재해야 하는 조건은 새로 정의된 상태 변수들이 서로 독립이기 위한 필요조건이다.

상태 변수 방정식이 제어 가능하다면 제어 가능 표준형으로 변환할 수 있는 $P$가 항상 존재한다.

$\dot X = A_xX+B_xU$인 시스템을 제어가능 표준형인 $\dot Z = A_z Z+B_zU$ 시스템으로 변환하는 변환행렬 $P$를 계산한다.

$$\begin{bmatrix} \dot {z_1} \\ \dot {z_2}\\ \vdots \\ \dot {z_n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots &0 \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \ldots & -a_{n-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}z_1 \\z_2\\ \vdots \\ z_n \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}u$$

$P^{-1}$을 행벡터로 표현하면 $P^{-1} =\begin{bmatrix}p_1\\ p_2\\ \vdots \\ p_n \end{bmatrix}$

그리고,

$A_z=P^{-1}A_xP$에 $P^{-1}$을 왼쪽으로 곱하면 $A_zP^{-1}=P^{-1}A_x$

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots &0 \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \ldots & -a_{n-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_n \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix}p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_n \end{bmatrix} A_x$$

위 식을 풀어서 1행부터 n-1행까지의 결과를보면,

$$\tag{1} \begin{aligned} p_2 &= p_1A_x \\ p_3 &= p_2A_x = p_1A_x^2 \\ \vdots \\ p_n &= p_{n-1}A_x = p_1A_x^{n-1} \end{aligned}$$

그리고, $B_z = P^{-1}B_x$이므로

$$\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_n \end{bmatrix}B_x$$

위 행렬을 풀어보면

$$\tag{2} \begin{aligned} &p_1B_x = 0 \\ &p_2B_x = 0 \\ & \qquad \vdots \\ &p_{n-1}B_x =  0 \\ &p_nB_x = 1 \end{aligned}$$

(2)식에 (1)식의 결과를 적용하면

$$\tag{3} \begin{aligned} &p_1B_x &= 0& \\ &p_2B_x &= p_1A_xB_x  &= 0 \\ & \qquad \vdots \\ &p_{n-1}B_x  &= p_1A_x ^{n-2}B_x & = 0 \\ &p_nB_x  &=  p_1A_x ^{n-1}B_x  &= 1 \end{aligned}$$

(3)식을 $p_1$으로 인수분해하면

$$p_1 \begin{bmatrix} B_x &  A_xB_x & \ldots & A_x ^{n-2}B_x  &     A_x ^{n-1}B_x \end{bmatrix}  = p_1M_{cx} =  \begin{bmatrix}0&      0& \ldots &  0  &  1 \end{bmatrix}$$

$M_{cx}$의 인버스를 왼쪽으로 곱하면

$$\tag{4} p_1 = \begin{bmatrix}0&      0& \ldots &  0  &  1 \end{bmatrix}M_{cx} ^{-1}$$

(4)식으로 $p_1$을 구할 수 있다. 이 결과를 (1)식에 대입하면 $P^{-1}$을 구할 수 있다.

$$P^{-1} = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_1A_x \\ p_1A_x^2 \\ \vdots \\ p_1A_x^{n-1} \end{bmatrix}$$