강의노트 상태 변수 방정식과 전달함수의 관계

미분방정식으로 표현된 시스템은 식(1)과 같다.

$$\tag{1} \begin{cases} \dot x  = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}$$

식(1)을 라플라스 변환하면 식(2)와 같다.

$$\tag{2} \begin{cases} sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s) \\ Y(s) = CX(s) + DU(s) \end{cases}$$

식(2)를 식(3)과 같이 정리할 수 있다.

$$\tag{3} \begin{cases} X(s) = (sI - A)^{-1 }x(0) + (sI - A)^{-1} BU(s) \\ Y(s) = C(sI - A)^{-1} x(0) + [C(sI - A)^{-1} B + D]U(s) \end{cases}$$

초기값이 영이면

식(3)은 식(4)와 같이 표현된다.

$$\tag{4} Y(s) = [C(sI - A)^{-1} B + D]U(s)$$

전달함수

식(4)를 입력 $U(s)$로 나누면 식(4)는 식(5)와 같이 쓸 수 있다.

$$\tag{5} G(s) =  \dfrac{Y(s)}{U(s)} = C(sI - A)^{-1} B + D$$

식(5)의 입력과 출력의 관계, 즉 전달함수가 된다. 식(5)를 간단히 표현하면 식(6)과 같이 나타낼 수 있다.

$$\tag{6} Y(s) = G(s) U(s)$$