강의노트 보드선도 _ 안정도 여유

안정도 여유

• 위 시스템의 전체 전달함수는 $G_T (s) = \dfrac{G(s)}{1+G(s)}$ 가 된다. 폐루프 시스템이 안정하기 위해서는 $1+G(s)=0$ 을 만족하는 점들이 s-평면 왼쪽에 있어야 한다.

• 즉, $G(s) = -1$을 만족하는 점들이 위 시스템의 극점들이 된다. 이 점들은 크기가 1, 혹은 0dB이고 위상각은 -180도 인 점들이다.

보드 선도의 $20 \log_{10} \vert G(j\omega ) \vert$

이득여유( gain margin)

• 위상이 -180도 일때의 크기

$$\begin{aligned} GM &= 0dB - \vert G(j \omega_{180})H(j \omega_{180}) \vert \\ &= 20 \log_{10}1 - 20 \log_{10}\vert G(j \omega_{180})H(j \omega_{180}) \vert \\&= 20 \log_{10} \dfrac{1}{\vert G(j \omega_{180})H(j \omega_{180}) \vert} \end{aligned}$$

위상여유(phase margin)

• 크기가 1일때, 혹은 0dB일때의 위상각

$$PM = 180^\circ + \angle{G(j \omega_c)H(j \omega_c)}$$

여기서 $\omega_c$는 크로스오버 주파수이다.

• 양의 위상여유 와 양의 이득여유 (안정한 시스템 )

• 바람직한 상대안정도

  • 최소 위상 플랜트에서 바람직한 상대 안정도
    • 게인여유 : 2~10
    • 위상여유 : $30^\circ \backsim 60^\circ$
    • 게인교차 주파수 $\omega_g$(크기가 1일때의 주파수) 근처 (0.1$\omega_g$ ~ 10$\omega_g$)에서 개루프 전달함수의 크기가 -40dB/dec보다 완만해야 함
    • 실제 시스템의 안정도를 보장하기 위해서는 게인교차주파수 근처에서 $\vert G(j \omega ) \vert$ 의
      • 기울기가 -20dB/dec이면 충분한 위상여유 확보
      • 기울기가 -40dB/dec이면 불안정해질 수 있음
      • 기울기가 -60dB/dec이면 불안정함.