등가회로

유도전기동기의 변압기 모델

고정자 권선이 3상 평형 전원에 연결하고 회전자를 구속하면, 회전자는 회전하지 않는 상태이므로 변압기와 같이 1차측과 2차측에 같은 주파수가 흐른다. 구속상태의 회전자 등가회로는 다음 그림과 같다.

구속상태에서 회전자에 유도되는 전압( $E_{20}$ )과 리액턴스( $X_{20}$ )라 하면 1차측의 유도 기전력과 2차측 유도 기전력은 식(1)과 같다.

$\tag{1} E_{10}= 4.44 f_{10}N_{1}\Phi K_{w1} \qquad E_{20}= 4.44 f_{20}N_{2}\Phi K_{w2}$

회전자와 고정자의 주파수( $f_{10}= f_{20}$ )가 같기때문에 1차 유도 기전력과 2차 유도 기전력의 비는 식(2)와 같다.

$\tag{2} a =\dfrac{E_{10}}{E_{20}}=\dfrac{N_{1}K_{w1}}{N_{2}K_{w2}}$

유도기에 부하를 가하면 회전 속도가 떨어지므로 슬립이 증가한다. 슬립이 $s$ 일때 1차측(고정자)과 2차측(회전자)에 유도되는 전압은 식(3)과 같다. 이 $E_{2s}= s E_{20}$ 가 된다.

$\tag{3} E_{1s}= 4.44 f_{1s}N_{1}\Phi K_{w1} \quad E_{2s}= 4.44 f_{2s}N_{2}\Phi K_{w2}$

여기서, 회전자에 유도되는 주파수( $f_{2s}=sf_1$ )이므로 회전자에 유도되는 전압은 식(4)와 같이 표현된다.

$\tag{4} E_{2s}= 4.44 f_{2s}N_{2}\Phi K_{w2} = 4.44 s f_{1} N_{2} \Phi K_{w2} = s E_{20}$

회전자 전류( $I_2$ )는 식(5)와 같이 구할 수 있다.

$\tag{5} I_2 = \dfrac{E_{2s}}{R_2 + j X_{2s}} = \dfrac{sE_{20}}{R_2 + j sX_{20}}$

식(5)를 분모 분자를 $s$ 로 나눠주면 회전자 전류는 식(6)과 같이 나타낼 수 있다.

$\tag{6} I_2 = \dfrac{E_{20}}{\dfrac{R_2}{s}+jX_{20}}$

식(6)에서 리액턴스에 가해지는 주파수는 $f_1$ 이고 이는 고정자와 같은 주파수이다. 식(6)을 회로로 표현하면 다음과 같다.

슬립 $s$ 로 운전될때의 권선비는 식(7)과 같다.

$\tag{7} a'=\dfrac{E_{1s}}{E_{2s}}=\dfrac{E_{10}}{sE_{20}} =\dfrac{a}{s}$

위의 회로에서 회전자에는 물리적으로 $R_2$ 가 존재하므로 $\dfrac{R_2}{s}$ 를 다음 그림과 같이 $R_2$ 와 $\dfrac{(1-s)}{s}R_2$ 로 표현할 수있다.

$\dfrac{(1-s)}{s}R_2$ 는 유도전동기에서 출력을 나타낸다.

이때의 역률은 식(8)과 같다.

$\tag{8} \cos\theta =\dfrac{\dfrac{R_{2}}{s}}{\sqrt{\left( \dfrac{R_{2}}{s} \right)^{2}+ X_{20}^{2}}}$

슬립이 낮은 경우( $\dfrac{R_{2}}{s}\gg X_{20}$ ) 회전자의 저항 성분이 지배적이고 슬립이 높은 경우( $X_{20}\gg\dfrac{R_{2}}{s}$ )은 리액턴스 성분이 지배적이된다.

부하가 증대(부하 토크가 커지면)하면 회전자가 감속하고 슬립이 증가한다.

이는 회전자 전압이 증가하고 회전자 전류도 증가한다.

회전자 전류의 증가는 회전자 전류에 의한 토크가 증가하여 부하토크와 동적 평형이 유지되게 한다.

회전자를 고정자측으로 임피던스 변환을 하면 유도전동기의 등가회로는 다음 그림과 같다.

여기서,

$E_{1}= E_{2}^{'}= a'E_{20}$

$I_{2}^{'}=\dfrac{I_{2}}{a'}$

$Z_{2}= {a'}^{2}(\dfrac{R_{2}}{s}+ j X_{20})$