강의노트 출력 전력

공극전력은 전부 기계적 동력으로 변환되며, 철손과 회전자 동손은 회전하는 기계적 손실과 같은 특성을 가지며 일정한 상수로 취급된다.

동기 발전기의 유효 전력 출력과 무효 전력 출력은 식(1),(2)와 같다.

식(1)을 동기임피던스로 곱하고 나눠주면 식(3)과 같아진다. 또한, 위의 벡터도로부터 식(4)를 구할 수 있다.

동기 발전기의 출력은 식(4)를 식(3)에 대입하면 식(5)와 같다.

$$\tag{5} P_{out} = 3\dfrac{V_s E_a }{Z_s} \sin \delta$$

수식 유도

벡터도로부터 동기기 출력을 유도하는 과정은 다음과 같다.

$$P_{out} = V_sI_a \cos \phi$$

각도들은 다음과 같이 정의한다.

식 (6) 양변에 $\cos \alpha$를 곱하고 식(7) 양변에 $\sin \alpha$ 곱하면 식(8)이 얻어진다.

$$\tag{8} \begin{cases} \cos \alpha \cdot I_aZ_s \cos (\alpha + \phi ) = E_a \sin \delta \cdot \cos \alpha \\ \sin \alpha ( V_s + I_aZ_s \sin (\alpha +\phi) ) = E_a \cos \delta \cdot \sin \alpha \end{cases}$$

식(8)을 더하면 식(9)의 결과를 얻는다.

$$\tag{9} I_aZ_s [ \cos (\alpha +\phi) \cos \alpha + \sin (\alpha +\phi) \sin \alpha ] \\= E_a ( \sin \delta \cos \alpha + \cos \delta \sin \alpha ) - V_s \sin \alpha$$

식(9)를 정리하면 식(10)과 같아진다.

$$\tag{10} I_aZ_s \cos (\alpha +\phi - \alpha) = E_a \sin (\delta + \alpha) - V_s \sin \alpha$$

식(10)에서 전류를 구하면 식(11)이 된다.

$$\tag{11} I_a = \dfrac{ E_a \sin (\delta + \alpha) - V_s \sin \alpha }{Z_s \cos \phi}$$

식(11)을 식(1)에 대입하면 식(12)가 된다.

$$\tag{12} \begin{aligned} P &= V_s \cos \phi \cdot \dfrac{ E_a \sin (\delta + \alpha) - V_s \sin \alpha}{Z_s \cos \phi} \\ &= \dfrac{E_aV_s}{Z_s}\sin (\delta + \alpha) - \dfrac{V_s^2}{Z_s}\sin \alpha \end{aligned}$$

식(12)는 동기기의 출력전력식이 된다. 만약 저항이 리액턴스에 비해 무한히 작다면 출력 전력은 식(5)와 같은 형태로 표현된다.

$$r_a \ll x_a \quad \Rightarrow \quad \alpha \to 0 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = 0$$

$$\tag{13} P_{out} = \dfrac{E_aV_s}{Z_s} \sin \delta$$

발전기가 공급하는 무효전력은 단자전압과 내부 유기기전력의 관계로 구할 수 있다.

$E_a \cos \delta = V_s$이면 $Q=0$인 역률이 1인 상태가 되고

$E_a \cos \delta > V_s$이면 발전기가 지상 무효전력을 공급하는 상태($Q > 0$),

$E_a \cos \delta < V_s$이면 발전기가 진상 무효전력을 공급하는 상태($Q < 0$) 가 된다.

비돌극기 출력

비돌극기 동기기의 출력은 식(14)와 같다.

$$\tag{14} P = 3\dfrac{E_aV_s}{X_s} \sin \delta$$

식(14)에서 최대출력은 $\delta = 90^{\circ}$에서 발생하고 이를 정태 안정도 한계라 한다.

실제 동기 발전기의 부하각은 $15^{\circ} \sim 20^{\circ}$ 에서 운전한다. 유도되는 토오크는 식(15)와 같다.

$$\tag{15} \tau_{ind} = 3\dfrac{P}{\omega_s}=3\dfrac{E_aV_s}{\omega X_s}\sin \delta$$

돌극기 출력

돌극기 인 동기기의 출력은 식(16)과 같다.

$$\tag{16} P = 3\dfrac{E_aV_s}{X_s} \sin \delta + \dfrac{V_s^2(X_d - X_q )}{2X_d X_q}\sin (2\delta)$$

여기서, $X_d$는 직축 리액턴스이고 $X_q$는 종축리액턴스이다.

최대출력은 부하각이 $\delta \fallingdotseq 60^{\circ}$에서 발생한다.