강의노트 단순 시스템의 전력 전달 특성

단순 시스템의 상당 등가 회로

아래 그림과 같은 단순 시스템의 상당 등가 회로를 생각합니다.

송전단 전압은 다음과 같습니다.

$$\tag{1} \mathbf{V}_ {S}=\left | \mathbf{V}_ {S}\right | e^{j\theta_{S}} = V_S \, e^{j\theta_{S}}$$

수전단 전압은 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \mathbf{V}_ {R}=\left | \mathbf{V}_ {R}\right | e^{j\theta_{R}}= V_R \, e^{j\theta_{R}}$$

송전 선로의 임피던스는 다음과 같이 표시됩니다.

$$\tag{3} \mathbf{Z} = | \mathbf{Z} | e^{j\theta_{Z}} = Z e^{j\theta_{Z}}$$

송전단 전압과 수전단 전압의 위상차를 $\delta$ 라고 하고 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{4} \color{red} \delta =\theta_{S}- \theta_{R}$$

송전단에서 수전단으로 보내주는 복소 전력

송전단에서 수전단으로 보내주는 복소 전력을 $\mathbf{S}_ {S}$라고 하면, $\mathbf{S}_ {S}$는 다음과 같습니다.

$$\tag{5} \mathbf{S}_ {S}= \mathbf{V}_ {S} \mathbf{I}_ {S}^*$$

위 식에서 다음 관계를 이용합니다.

$$\tag{6} \mathbf{I}_ {S} = \dfrac{\mathbf{V}_ S - \mathbf{V}_ R} { \mathbf{Z}}$$

위 식을 이용하면

$$\tag{7} \begin{align*} \mathbf{S}_ S &= \mathbf{V}_ S \mathbf{I}_ S^* = \mathbf{V}_ S \left(\dfrac{\mathbf{V}_ S - \mathbf{V}_ R}{\mathbf{Z}} \right)^* \\[2ex] & = \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^2}{\mathbf{Z}^*}-\dfrac{\mathbf{V}_ {S} \mathbf{V}_ {R}^*}{\mathbf{Z}^*} \end{align*}$$

위 식을 정리하면

$$\tag{8} \begin{align*} \mathbf{S}_ S &= \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^2}{\mathbf{Z}^*}-\dfrac{\mathbf{V}_ {S} \mathbf{V}_ {R}^*}{\mathbf{Z}^*} \\ &= \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^{2}}{\; | \mathbf{Z} |e^{-j\theta_{Z}}} \,-\,\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |e^{j\theta_{S}} \left | \mathbf{V}_ {R}\right |e^{-j\theta_{R}}}{| \mathbf{Z} |e^{-j\theta_{Z}}} \end{align*}$$

위 식을 정리하고 식$(4)$를 적용하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{9} \mathbf{S}_ {S}=\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^{2}}{| \mathbf{Z} |\,}e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{| \mathbf{Z} |}e^{j\theta_{Z}}e^{j\delta}$$

실효치와 임피던스는 식$(1)$~식$(3)$에서 정의하였듯이 다음과 같습니다.

$$\tag{10} \left | \mathbf{V}_ {S} \right | = V_S \,, \; \left | \mathbf{V}_ {R} \right | = V_R \,, \; \left | \mathbf{Z} \right | = Z$$

식$(10)$을 식$(9)$에 적용하면 식$(9)$는 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{11} \color{red} \mathbf{S}_ {S} =\dfrac{ V_{S}^{2}}{ Z \,} e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{ V_{S} V_{R}}{ Z } e^{j\theta_{Z}}e^{j\delta}$$

수전단에서 받는 복소 전력

같은 방법으로, 수전단에서 송전단으로 보내주는 복소전력을 $\mathbf{S}_ {R}$이라 하면, $\mathbf{S}_ {R}$은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\tag{12} \mathbf{S}_ {R}= \mathbf{V}_ {R}(- \mathbf{I}_ {R})^*$$

위 식에서 다음을 이용하면

$$\tag{13} - \mathbf{I}_ {R} = \dfrac{\mathbf{V}_ R - \mathbf{V}_ S} { \mathbf{Z}}$$

다음 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{14} \mathbf{S}_ {R}= \mathbf{V}_ {R}(- \mathbf{I}_ {R})^*= \mathbf{V}_ {R}\left(\dfrac{\mathbf{V}_ {R} - \mathbf{V}_{S}}{\mathbf{Z}}\right)^{*}$$

정리하면 다음과 같은 수전단에서 송전단으로 보내주는 복소 전력을 구할 수 있습니다.

$$\tag{15} \mathbf{S}_ {R} =\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {R}\right |^{2}}{| \mathbf{Z} |\,}e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{| \mathbf{Z} |}e^{j\theta_{Z}}e^{-j\delta}$$

이때 수전단에서 받는 복소전력은 $-\mathbf{S}_ {R}$로 나타낼 수 있으므로 다음과 같습니다.

$$\tag{16} - \mathbf{S}_ {R} = - \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {R}\right |^{2}}{| \mathbf{Z} |\,}e^{j\theta_{Z}} + \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{| \mathbf{Z} |}e^{j\theta_{Z}}e^{-j\delta}$$

또한 위의 실효치와 임피던스 기호로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\tag{17} \color{red} -\mathbf{S}_ {R}= -\,\dfrac{ V_{R} ^{2}}{ Z \,} e^{j\theta_{Z}} + \dfrac{ V_{S} V_{R} }{ Z } e^{j\theta_{Z}}e^{-j\delta}$$