강의노트 무손실 단순 시스템의 전력 전달 특성

무손실 단순 시스템

앞에서 다음 그림과 같은 단순 시스템의 상당 등가 회로의 전력 전달 특성에 대하여 알아보았습니다.

위의 회로에서 다음과 같은 점을 고려합니다.

• 송전 선로의 임피던스, $\mathbf{Z} = R + j X$(위의 회로도 참조)에서 직렬 리액턴스 $X$는 통상 저항 $R$ 보다 휠씬 큰 값을 가집니다.
• 따라서 $R = 0$ 로 가정, 즉, $\mathbf{Z} = j X$ 로 근사화하더라도 큰 오차를 수반하지 않습니다.
• $R = 0$ 인 송전 선로를 무손실 선로 라고 합니다.
• 저항을 무시함으로써 단순화된 계산을 통해 전력 전달과 관련한 물리적인 의미를 좀 더 직관적으로 이해할 수 있는 장점이 있습니다.

아래 그림에 무손실 선로로 나타낸 단순 시스템의 상당 등가 회로를 나타내었습니다.

무손실 단순 시스템에서의 복소 전력의 전달

송전단에서 수전단으로 보내주는 복소 전력

앞에서 송전단에서 수전단으로 보내주는 복소전력 $\mathbf{S}_ {S}$는 다음과 같이 나타내어 지는 것을 알아 보았습니다.

$$\tag{1} \mathbf{S}_ {S}=\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^{2}}{| \mathbf{Z} |\,}e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{| \mathbf{Z} |}e^{j\theta_{Z}}e^{j\delta}$$

위 식에서 $\mathbf{Z} = j X$ 이므로 다음 관계를 만족합니다.

$$\tag{2} \phase{\mathbf{Z}} = \theta_{Z} = \frac{\pi}{2} \; ,\;\; e^{j\theta_{Z}} = j$$

이것을 이용하면 식$(1)$은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{3} \mathbf{S}_ {S}= j \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^{2}}{X} - j \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} e^{j\delta}$$

위 식에 오일러 공식을 적용하면 식$(3)$은 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{4} \mathbf{S}_ {S}= j \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^{2}}{X} - j \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} \big( \cos\delta + j \sin\delta \big)$$

위 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$$\color{red} \tag{5} \mathbf{S}_ {S}= \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} \sin\delta + j \left( \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |^{2}}{X} - \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} \cos\delta \right)$$

수전단에서 받는 복소 전력

수전단에서 송전단으로 보내주는 복소 전력은 앞에서 구한 다음 식을 고려합니다.

$$\tag{6} \mathbf{S}_ {R} =\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {R}\right |^{2}}{| \mathbf{Z} |\,}e^{j\theta_{Z}}-\dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{| \mathbf{Z} |}e^{j\theta_{Z}}e^{-j\delta}$$

같은 방법으로 조건 $(2)$를 위 식에 적용하여 정리하면 다음과 같은 결과식을 구할 수 있습니다.

$$\color{red} \tag{7} \mathbf{S}_ R = - \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} \sin\delta + j \left( \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {R}\right |^{2}}{X} - \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} \cos\delta \right)$$

수전단에서 받는 복소 전력은 $- \mathbf{S}_ R$이므로 위식으로부터 다음과 같습니다.

$$\color{red} \tag{8} - \mathbf{S}_ R = \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} \sin\delta - j \left( \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {R}\right |^{2}}{X} - \dfrac{\left | \mathbf{V}_ {S}\right |\left | \mathbf{V}_ {R}\right |}{X} \cos\delta \right)$$