강의노트 페이서를 이용한 커패시턴스 요소 회로의 해석

전압 전류의 페이서 표현과 임피던스

아래와 같이 2단자망 회로망이 커패시턴스 요소로 구성되어 있다고 할 때 다음의 전압이 가해질 때 회로에 흐르는 전류를 구해봅니다.

커패시턴스 $C$ 을 가지는 소자의 전압, 전류 특성은 다음의 식으로 표현됩니다. 즉, 전압과 전류는 저항과는 달리 순시적인 비례 관계를 만족하지 않으며, 그 미분값에 비례하는 관계가 됩니다.

$$\tag{1} \color{red} i_{C}(t)= C\dfrac{d v_{C}(t)}{dt}$$

식$(1)$에서 전압를 페이서로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\tag{2} v_{C}(t)=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \, \mathbf V_{C} e^{j\omega t}\right]$$

식$(1)$과 식$(2)$에서 다음을 구할 수 있습니다.

$$\tag{3} \begin{align*} i_{C}(t) &= C\dfrac{d}{dt}\Big\{\mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \mathbf V_{C}e^{j\omega t}\right]\Big\} \\[2ex] &= \mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \, C \,\mathbf V_{C}\left(\dfrac{d}{dt}e^{j\omega t}\right)\right] \\[2ex] &=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2}j\omega C \,\mathbf V_{C} \, e^{j\omega t}\right] \end{align*}$$

전류는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{4} i_{C}(t)=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \, \mathbf I_{C} \, e^{j\omega t}\right]$$

따라서, 식$(3)$의 결과와 식$(4)$을 비교하면 다음과 같은 관계를 알 수 있습니다.

$$\tag{5} \color{red} \mathbf I_{C}= j\omega C \, \mathbf V_{C}$$

식$(5)$에서 어드미턴스 $\color{red} \mathbf Y_{C}$ 를 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{6} \color{red} \mathbf Y_{C}= jw C$$

그러면 식$(5)$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{7} \color{red} \mathbf I_{C}= \mathbf Y_{C} \mathbf V_{C}$$

이로부터 서셉턴스를 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{8} B_C = w C$$

임피던스와 어드미턴스는 다음과 같은 관계를 만족합니다.

$$\tag{9} \mathbf Z_{C}= \dfrac{1}{ \mathbf Y_{C} }$$

그러면 다음을 알 수 있습니다.

$$\tag{10} \mathbf Z_{C}= \dfrac{1}{ jw C } = - j\dfrac{1}{w C}$$

이로부터 리액턴스를 정의하며, 용량성 리액턴스(Capacitive Reactance) 라고 합니다. 용량성 리액턴스는 음의 값을 가집니다.

$$\tag{11} X_{C}= -\dfrac{1}{w C}$$

이로서 커패시터의 전류는 전압보다 크기는 $\color{red} w C$ 배가 되고 위상은 $\color{red} \pi/2$ 만큼 앞서게 된다는 것을 알 수 있습니다. 이로서 커패시턴스의 전압 전류 특성은 인덕턴스의 경우의 정반대가 됨을 알 수 있습니다.