이상 변압기

이상변압기(Ideal Transformer)의 가정

이상변압기(Ideal Transformer) 는 다음과 같은 가정을 만족하는 변압기를 말합니다.

앞에서 다음과 같은 기자력(magnetomotive force, mmf)의 관계식을 구한 바 있습니다.

$\tag{1} F = N_{1}i_{1}- N_{2}i_{2}= \mathcal{R} \Phi_{m}$

이상변압기의 경우 무한대의 투자율을 가지므로 자기 저항은 $0$ 이 되며 이를 나타내면 다음과 같습니다.

$\tag{2} \mathcal{R} = 0$

이 조건을 식 $(1)$ 에 적용하면 식 $(1)$ 은 다음과 같습니다.

$\tag{3} F = N_{1}i_{1}- N_{2}i_{2}= 0$

식 $(3)$ 에서 다음 관계를 얻을 수 있습니다.

$\tag{4} \dfrac{i_{2}}{i_{1}}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}$

변압기의 권선비(Transformer turns ratio) $a$ 를 다음과 같이 정의합니다.

$\color{red} \tag{5} a =\dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\dfrac{1}{n}$

그러면 식 $(4)$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\color{red} \tag{6} \dfrac{i_{2}}{i_{1}}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}} =\dfrac{1}{n} = a$

이제 이상변압기의 1차측과 2차측의 전압 관계를 알아보기 위하여 다음과 같은 1차측과 2차측에 쇄교하는 총 자속 $\lambda_{1}$ 과 $\lambda_{2}$ 을 고려합니다.

$\tag{7} \lambda_{1}= N_{1}\Phi_{m}\, , \; \lambda_{2}= N_{2}\Phi_{m}$

식 $(7)$ 로부터 다음과 같은 1차측 전압 관계를 구할 수 있습니다.

$\tag{8} v_{1}=\dfrac{d\lambda_{1}}{d t}= N_{1}\dfrac{d\Phi_{m}}{d t}$

2차측 전압도 동일한 방식으로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\tag{9} v_{2}=\dfrac{d\lambda_{2}}{d t}= N_{2}\dfrac{d\Phi_{m}}{d t}$

식 $(8)$ 과 식 $(9)$ 로부터 전압비도 동일하게 다음과 같은 권선비로 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

$\color{red} \tag{10} \dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\dfrac{1}{n}= a$

식 $(6)$ 과 식 $(10)$ 으로 표현된 1차측과 2차측의 전압 및 전류 관계를 고려하면 그림과 같은 이상변압기의 모델을 구할 수 있습니다.

$\color{red} \tag{11} \dfrac{v_{1}}{v_{2}} = \dfrac{i_{2}}{i_{1}} = \dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\dfrac{1}{n}= a$