강의노트 변압기의 기자력과 자기 저항

아래 그림은 변압기의 구조를 나타냅니다.

위의 그림에서 코어의 중심을 연결한 선의 길이를 $\ell$이라고 하고, 코어의 단면적을 $A$라고 하면, 암페어의 법칙에 의하여 다음을 만족합니다.

$$\tag{1} \oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = H \ell = Ni$$

여기에서 1차측 및 2차측에 흐르는 전류가 $i_{1}$, $i_{2}$이고 턴수가 각각 $N_{1}$, $N_{2}$이면, 다음과 같은 관계가 유도됩니다.

$$\tag{2} \begin{align*} H_{1}\ell &= N_{1}i_{1} \\[0.5ex] H_{2}\ell &= N_{2}i_{2} \end{align*}$$

식$(2)$로부터 자계의 세기 $H_{1}$과 $H_{2}$는 다음과 같습니다.

$$\tag{3} H_{1}=\dfrac{N_{1}i_{1}}{\ell} \, , \; H_{2}=\dfrac{N_{2}i_{2}}{\ell}$$

코어의 투자율을 $\mu$라 하면 자속 밀도와 자계의 세기는 다음과 같은 관계를 가집니다.

$$\tag{4} B_{1}=\mu H_{1}\, , \; B_{2}=\mu H_{2}$$

이므로, 코어의 단면적을 $A$라고 하면 자속과 자속 밀도는 다음과 같은 관계를 가집니다.

$$\tag{5} \Phi = B\, A$$

이를 식$(4)$에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{6} \Phi_{1}= B_{1}A\, , \; \Phi_{2}= B_{2}A$$

식$(6)$을 식$(3)$에 적용하면 변압기 1차측에 대하여 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\tag{7} \Phi_{1}= B_{1}A =\mu H_{1}A =\mu\dfrac{N_{1}i_{1}}{\ell}A$$

변압기 2차측도 동일한 방법으로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\tag{8} \Phi_{2}=\mu\dfrac{N_{2}i_{2}}{\ell}A$$

1차측 전류에 의한 자속과 2차측 전류에 의한 자속은 서로 반대방향의 자속을 생성하므로, 단면 $A$를 통과하는 총 자속 $\Phi_{m}$은 다음과 같이 표현됩니다.

$$\tag{9} \Phi_{1}-\Phi_{2}=\Phi_{m}$$

따라서 다음관계가 만족됩니다.

$$\tag{10} N_{1}i_{1}\dfrac{\mu A}{\ell}- N_{2}i_{2}\dfrac{\mu A}{\ell}=\Phi_{m}$$

따라서, 주어진 전류 방향에 대하여 기자력(magnetomotive force, mmf) 을 계산하면, 총 기자력 $F$는 식$(11)$과 같이 구해집니다.

$$\tag{11} F = N_{1}i_{1}- N_{2}i_{2}=\dfrac{\ell}{\mu A}\Phi_{m}$$

식$(11)$에서 릴럭턴스(Reluctance) $\mathcal{R}$ 를 다음과 같이 정의합니다. 릴럭턴스는 자기 저항이라고 하며 전기 회로에서의 저항과 유사한 의미를 가집니다.

$$\color{red} \tag{12} \mathcal{R} = \dfrac{\ell}{\mu A}$$

그러면 식$(11)$은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\color{red} \tag{13} F = N_{1}i_{1}- N_{2}i_{2}= \mathcal{R}\Phi_{m}$$