문제 문제 8-2

(a) 문제 1에서 교류발전기가 12[kV]의 전압으로 저항 부하에 120[MW]의 전력을 공급한다면 유기 기전력 $E_{0}$는 얼마가 되어야 하는가?

발전기의 전류는 부하 전력 $P_L$과 선간 전압 $E$에 의해 다음과 같이 구할 수 있다.

$$I = \frac{P_L}{\sqrt 3 E} = \frac{120\times 10^6}{\sqrt 3 \times 12 \times 10^3} = 5,773 \,[\mathrm{A}]$$

저항성 부하의 상당 저항 값은 다음과 같이 구할 수 있다. 식에서 $E_\phi$는 상전압이고, $E$는 선간 전압이다.

$$R = \frac{E_\phi}{I} = \frac{\dfrac{E}{\sqrt 3}}{\;\;\dfrac{P_L}{\sqrt 3 E}\;\;} = \frac{E^2}{P_L} = \frac{(12\times 10^3)^2}{120 \times 10^6} = 1.2 \,[\Omega]$$

이로부터 상당 등가회로는 다음과 같다.

상당 등가회로의 합성 임피던스 $\mathbf{Z}$는 부하의 저항 $R_L$과 동기 리액턴스 $X_S$의 직렬 연결로 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\mathbf{Z} = R_L + j X_S = 1.2 + j\,0.87 \,[\Omega]$$

단자 전압의 위상을 기준 위상으로 하면, 부하가 저항성이므로 전류의 위상은 단자 전압의 위상과 동일하다. 따라서 전류는 다음과 같다.

$$\mathbf{I} = 5,773 \,\angle 0 \,[\mathrm{A}]$$

이를 다음 식에 적용하면 교류 발전기의 상당 등가회로의 내부 기전력 $\mathbf{E}_0^\phi$ (페이서)을 구할 수 있다.

$$\mathbf{E}_0^\phi = \mathbf{I} \,\mathbf{Z} = 5,773 \times ( 1.2 + j\,0.87 ) \,[\mathrm{V}]$$

교류 발전기의 상당 등가회로의 내부 기전력 $E_0^\phi$ (실효치)는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$E_0^\phi = \left| \mathbf{E}_0^\phi \right| = \big| 5,773 \times ( 1.2 + j\,0.87 ) \big| = 8.56 \,[\mathrm{kV}]$$

또한 교류 발전기의 선간 내부 기전력 $E_0$(실효치)는 다음과 같다.

$$E_0 = \sqrt 3 \, E_0^\phi= \sqrt 3 \times 8.56 \times 10^3 = 14.83 \,[\mathrm{kV}]$$

(b) $E_{0}$와 단자 전압 사이에 위상각은 얼마인가?

앞에서 단자 전압의 위상을 기준 위상으로 하였으므로 내부 기전력 $E_0^\phi$의 위상각 $\theta_{E_0}$는 다음과 같다.

$$\theta_{E_0} = \tan ^{-1} \left( \frac{0.87}{1.2} \right) = 35.9^\circ$$