Lecture 3상 변압기 (Y-Δ 결선)

결선도

아래 그림에 $\mathrm{Y}-\Delta$의 회로를 나타내었습니다. 1차측과 2차측의 평행하게 위치한 상이 서로 결합되어 있는 상입니다. 위 첨자 $'$은 2차측을 의미합니다. ${n}$은1차측의 중성점을 나타냅니다.

$\mathrm{Y}-\Delta$ 결선도 $\Delta -\mathrm{Y}$ 결선과 동일하게 1차측과 2차측의 전압과 전류가 크기와 위상이 함께 변합니다. 이때 각 상의 전압은 다음과 같은 관계를 가집니다. $n$은 1차측 전압과 2차측 전압의 비를 의미합니다.

$$\tag{1} \begin{align} \mathbf{V}_ {a'c'} &= n \mathbf{V}_ {a n} \\[1ex] \mathbf{I}_ {c'a'} &= {\dfrac{\mathbf{I}_ a}{n}} \end{align}$$

1차측과 2차측간의 전압 관계

$\mathrm{Y}-\Delta$ 결선의 1차측과 2차측간의 상전압 관계를 알아보기 위해서는 먼저 식$(1)$로 표시되는 선간 전압 관계를 상전압과의 관계로 변환하여야 합니다. 2차측의 선간 전압은 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a'c'}= \mathbf{V}_ {a'n'}- \mathbf{V}_ {c'n'}=\sqrt{3}\mathbf{V}_ {a'n'}e^{-j\frac{\pi}{6}} \end{equation}$$

식$(2)$를 식$(1)$에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \begin{equation} n \mathbf{V}_ {a n} = \sqrt{3}\mathbf{V}_ {a'n'}e^{-j\frac{\pi}{6}} \end{equation}$$

식$(3)$을 정리하면 다음 식을 얻습니다.

$$\tag{4} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a'n'}=\dfrac{n}{\sqrt{3}} e^{j\frac{\pi}{6}}\mathbf{V}_ {an} \end{equation}$$

이제 다음과 같이 $\widetilde{\mathbf{K}}$ 를 정의합니다.

$$\tag{5} \color{red} \begin{equation} \widetilde{\mathbf{K}} =\dfrac{n}{\sqrt{3}} e^{j\frac{\pi}{6}} \end{equation}$$

그러면 식$(4)$는 다음 식과 같이 됩니다.

$$\tag{6} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a'n'}= \widetilde{\mathbf{K}} \,\mathbf{V}_ {an} \end{equation}$$

다른 상도 동일한 방법으로 구하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{7} \begin{align} \mathbf{V}_ {b'n'} &= \widetilde{\mathbf{K}} \, \mathbf{V}_ {b n} \\ \mathbf{V}_ {c'n'} &= \widetilde{\mathbf{K}} \, \mathbf{V}_ {c n} \end{align}$$

따라서 최종적인 3상 변압기의 전압 관계는 다음과 같습니다.

$$\tag{8} \color{red} \begin{align} \mathbf{V}_ {a'n'} &= \widetilde{\mathbf{K}} \, \mathbf{V}_ {a n} \\ \mathbf{V}_ {b'n'} &= \widetilde{\mathbf{K}} \, \mathbf{V}_ {b n} \\ \mathbf{V}_ {c'n'} &= \widetilde{\mathbf{K}} \, \mathbf{V}_ {c n} \end{align}$$

1차측과 2차측간의 전류 관계

이제 전류 관계를 알아보면 변압기 2차측의 $a'$ 마디에 KCL을 적용하면 다음 관계를 알 수 있습니다.

$$\tag{9} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a'}= \mathbf{I}_ {c'a'}- \mathbf{I}_ {a'b'} \end{equation}$$

식$(9)$에서 다음 관계를 알 수 있습니다.

$$\tag{10} \begin{align} \mathbf{I}_ {a'} & = \mathbf{I}_ {c'a'}- \mathbf{I}_ {a'b'} \\[2ex] &=\dfrac{\mathbf{I}_ {a}- \mathbf{I}_ {b}}{n} \\[2ex] &=\dfrac{\sqrt{3}\,e^{j\frac{\pi}{6}}\mathbf{I}_ {a}}{n} \end{align}$$

식$(10)$을 식$(1)$과 함께 정리하면 다음 식을 얻을 수 있습니다.

$$\tag{11} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a'}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{n}{\sqrt{3}}e^{-j\frac{\pi}{6}}\right)}\mathbf{I}_ {a} \end{equation}$$

그러면 앞에서 정의한 $\widetilde{\mathbf{K}}$ 를 이용하면 식$(11)$은 다음 식과 같이 됩니다.

$$\tag{12} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a'}=\dfrac{1}{\widetilde{\mathbf{K}}^*} \mathbf{I}_ {a} \end{equation}$$

다른 상도 동일한 방법으로 구하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{13} \begin{align} \mathbf{I}_ {b'}=\dfrac{1}{\widetilde{\mathbf{K}}^*} \mathbf{I}_ {b} \\ \mathbf{I}_ {c'}=\dfrac{1}{\widetilde{\mathbf{K}}^*} \mathbf{I}_ {c} \end{align}$$

따라서 최종적인 3상 변압기의 전류 관계는 다음과 같습니다.

$$\tag{14} \color{red} \begin{align} \mathbf{I}_ {a'}=\dfrac{1}{\widetilde{\mathbf{K}}^*} \mathbf{I}_ {a} \\ \mathbf{I}_ {b'}=\dfrac{1}{\widetilde{\mathbf{K}}^*} \mathbf{I}_ {b} \\ \mathbf{I}_ {c'}=\dfrac{1}{\widetilde{\mathbf{K}}^*} \mathbf{I}_ {c} \end{align}$$

고찰

• $\mathrm{Y}-\Delta$ 변압기의 중요한 특성은 권선비 $n$인 경우 1차측과 2차측의 전압비가 $\dfrac{n}{\sqrt{3}}$ 이고 2차측의 위상각이 1차측에 비해 $30^\circ$ 진상으로 된다는 것입니다.
• $\Delta -\mathrm{Y}$ 결선에 나타나는 복소 권선비 $\mathbf{K}$ 와 $\mathrm{Y}-\Delta$ 결선에서 구한 $\widetilde{\mathbf{K}}$ 를 비교하여 보면, $\mathrm{Y}-\Delta$ 변압기가 단순히 $\Delta -\mathrm{Y}$ 변압기의 1차측과 2차측을 바꾸어 놓은 것이 아니다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면, 두 변압기는 동일하게 2차측의 위상이 1차측의 위상보다 $30^\circ$ 앞서기 때문입니다.

상당 등가회로

앞의 결과로부터 $\mathrm{Y}-\Delta$ 결선 이상 변압기의 상당 등가회로를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

위의 상당 등가회로의 1차측과 2차측 전압과 전류 관계는 다음과 같습니다. $\mathrm{Y}-\Delta$ 결선 복소 권선비 (혹은 복소 전압비)는 다음 식과 같이 $\widetilde{\mathbf{K}}$ 가 됩니다.

$$\tag{15} \begin{align*} \mathbf{V}_ {a'n'} &= \widetilde{\mathbf{K}} \, \mathbf{V}_ {an} \\[1ex] \mathbf{I}_ {a'} &= \dfrac{\mathbf{I}_ {a}}{\widetilde{\mathbf{K}}^*} \end{align*}$$