선로의 유효 및 무효 전력의 흐름

송전단과 수전단

전력을 보내주는(송전) 쪽을 송전단이라 하고, 전력을 받는(수전) 쪽을 수전단이라고 한다.

부하의 특성은 피상전력의 크기와 역률의 변화에 따라 시시각각 변한다. 이렇게 부하가 변동될 때, 혹은 더 나아가 수전단과 송전단이 뒤바뀔 때, 전력의 흐름을 이해하고 계산해 낼 수 있을까?

송전단과 수전단 전압(상당)의 페이서를 각각 $\mathbf{E}_ 1$ , $\mathbf{E}_ 2$ 라 하면 선로의 전압 강하 $\mathbf{E}_ \mathrm{line}$ 는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{E}_ \mathrm{line} = \mathbf{E}_ {1} - \mathbf{E}_ {2}$

리액턴스가 $X$ 인 선로에서 전류는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{E}_ \mathrm{line} }{jX} = \dfrac{\mathbf{E}_ {1} - \mathbf{E}_ {2}}{jX}$

송전단에서 수전단으로 보내주는 복소 전력 $\mathbf{S}_ 1$ 과 수전단에서 받는 복소 전력 $\mathbf{S}_ 2$ 는 다음 식으로 구할 수 있다.

$\mathbf{S}_ 1 = \mathbf{E}_ 1 \mathbf{I}^* \;,\;\mathbf{S}_ 2 = \mathbf{E}_ 2 \mathbf{I}^*$

앞의 식에서 다음과 같다고 하자.

$\mathbf{E}_ 1 = E_1 e^{j\theta_1} \,, \; \mathbf{E}_ 2 = E_2 e^{j\theta_2}\,, \; \mathbf{I} = I e^{j\theta_I}$

이를 앞의 식에 적용하여 송전단이 보내주는 복소 전력을 구하면

$\begin{align*} \mathbf{S}_ 1 = \mathbf{E}_ 1 \mathbf{I}^* = E_1 e^{j\theta_1} I e^{-j\theta_I} = E_1 I e^{j(\theta_1 - \theta_I)} \end{align*}$

위 식은 오일러 정리를 적용하면 다음과 같다.

$\begin{align*} \mathbf{S}_ 1 &= E_1 I \cos(\theta_{1} - \theta_I) + j E_1 I \sin(\theta_{1} - \theta_I) \\[0.5ex] & = P_1 + j Q_1 \end{align*}$

따라서

$\color{red} \begin{align*} P_1 &= E_1 I \cos(\theta_{1} - \theta_I) \\[0.5ex] Q_1 & = E_1 I \sin(\theta_{1} - \theta_I)\end{align*}$

수전단에서 받는 복소 전력도 동일한 방법으로 구할 수 있다.

$\begin{align*} \mathbf{S}_ 2 = \mathbf{E}_ 2 \mathbf{I}^* = E_2 e^{j\theta_2} I e^{-j\theta_I} = E_2 I e^{j(\theta_2 - \theta_I)} \end{align*}$

위 식은 오일러 정리를 적용하면 다음과 같다.

$\begin{align*} \mathbf{S}_ 2 &= E_2 I \cos(\theta_{2} - \theta_I) + j E_2 I \sin(\theta_{2} - \theta_I) \\[0.5ex] & = P_2 + j Q_2 \end{align*}$

따라서

$\color{red} \begin{align*} P_2 &= E_2 I \cos(\theta_{2} - \theta_I) \\[0.5ex] Q_2 & = E_2 I \sin(\theta_{2} - \theta_I) \end{align*}$

유효 전력과 무효 전력의 흐름은 다음과 같다. 식에서 $E_1$ , $E_2$ 는 상전압이고 유효 및 무효 전력은 상당 값이다.