강의노트 교류 전압의 연산과 페이서

교류 전압의 연산과 페이서

다음과 같은 2개의 전압이 주어졌다고 할 때, 이들의 합을 구하여 보겠습니다.

$$\begin{align*} v_{1}(t) = \sqrt{2}\left |\mathbf{V_1}\right |\cos\left(\omega t +\theta_{1}\right)\\[1ex] v_{2}(t) = \sqrt{2}\left | \mathbf{V_2}\right |\cos\left(\omega t +\theta_{2}\right) \end{align*}$$

이 둘의 합을 순시값으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\begin{align*} & v_{1}(t)+v_{2}(t) \\[1ex] = & \sqrt{2} \left | \mathbf{V_1} \right |\cos\left(\omega t +\theta_{1} \right) + \sqrt{2} \left | \mathbf{V_2}\right |\cos\left(\omega t +\theta_{2}\right) \end{align*}$$

위와 같은 순시값을 직접 이용하여 구하기 위해서는 삼각함수의 합에 대한 공식을 적용하여야 합니다. 그런데, 우리는 순시값을 페이서로 변환한 다음 이 두 전압의 합을 구하기로 해 보겠습니다. 두 전압을 페이서로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\begin{align*} \mathbf{V}_1 &= | \mathbf{V}_1 |\, \phase{ \theta_1 } \\[1ex] \mathbf{V}_2 &= | \mathbf{V}_2 | \, \phase{ \theta_2 } \end{align*}$$

두 페이서의 합은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2 = | \mathbf{V}_1 | \, \phase{ \theta_1 } + | \mathbf{V}_2 | \, \phase{ \theta_2 }$$

2개의 페이서 전압의 합은 다음과 같은 과정을 통하여 실수부와 허수부로 구분하여 표시할 수 있습니다.

$$\begin{align*} & \mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2 \\[1ex] = & \, | \mathbf{V}_1 | \, \phase{ \theta_1 } + | \mathbf{V}_2 | \, \phase{ \theta_2 } \\[1ex] = & \, | \mathbf{V}_1 | \left( \cos \theta_1 + j \sin \theta_1 \right) + | \mathbf{V}_2 | \left( \cos \theta_2 + j \sin \theta_2 \right) \\[1ex] = & \, { | \mathbf{V}_1 | \cos \theta_1 + | \mathbf{V}_2 | \cos \theta_2} + j \left( | \mathbf{V}_1 | \sin \theta_1 + | \mathbf{V}_2 | \sin \theta_2 \right) \end{align*}$$

위 식에서 $\mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2 = \mathbf{V} = | \mathbf{V} | \, \phase{ \theta }$ 라고 하면, 2개의 페이서 전압의 합의 크기와 위상을 각각 구할 수 있습니다. 다음 식은 전압의 실효치를 나타냅니다.

$$| \mathbf{V} | = \, \sqrt{ \left( | \mathbf{V}_1 | \cos \theta_1 + | \mathbf{V}_2 | \cos \theta_2 \right)^2 + \left( | \mathbf{V}_1 | \sin \theta_1 + | \mathbf{V}_2 | \sin \theta_2 \right)^2}$$

다음 식은 전압의 위상을 나타냅니다.

$$\theta = \tan^{-1} \left [ \frac{| \mathbf{V}_1 | \sin \theta_1 + | \mathbf{V}_2 | \sin \theta_2 }{| \mathbf{V}_1 | \cos \theta_1 + | \mathbf{V}_2 | \cos \theta_2 } \right ]$$

이 결과를 복소 평면에 나타내면 다음과 같습니다.

위의 그림에서 두 전압 페이서의 합은 결국 두 복소수의 합으로 복소평면에서 기하학적으로 다음과 같이 구할 수 있습니다.