강의노트 페이서로부터 실제 정현파 구하기

페이서로부터 실제 정현파 끄집어내기

페이서로 표현된 전압과 전류로부터 순시값을 구해야 할 수 있습니다. 이때는 다음과 같이 쉽게 구할 수 있습니다. 페이서 값으로부터 실제 정현파를 다시 끄집어내기 위해서는 페이서값 $\mathbf{V}$ 에 $\sqrt{2}$와 $e^{j\omega t}$ 를 곱한 다음 실수부를 취하면 됩니다. 이것을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\color{red} \mathrm{Re}\left [\sqrt{2} \mathbf{V} e^{j\omega t}\right ] = v(t)$$

위의 식이 정당한 식인지 다음 과정을 통하여 확인해 보도록 하겠습니다. $\mathrm{Re}\left [\sqrt{2} \mathbf{V} e^{j\omega t}\right ]$이 $v(t)$와 같다는 것을 보이겠습니다.

$$\begin{align*} \mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \mathbf{V} e^{j\omega t}\right] & = \mathrm{Re} \left[ \sqrt{2}\left(\dfrac{V_{\max}}{\sqrt{2}} e^{j\theta_{V}}\right)e^{j\omega t}\right] \\[2.5ex] &= \mathrm{Re}\, \bigg[V_{\max}e^{j\omega t}e^{j\theta_{V}}\bigg] \\[2.5ex] &= \mathrm{Re} \,\bigg[V_{\max}e^{j(\omega t+\theta_{V})}\bigg] \end{align*}$$

앞의 식에 오일러 식을 적용하면 다음과 같습니다.

$$= \mathrm{Re}\bigg[ V_{\max}\Big\{ \cos(\omega t+\theta_{V})+j\sin(\omega t+\theta_{V})\Big\}\bigg]$$

위의 식을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$$\mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \mathbf{V} e^{j\omega t}\right] = V_{\max}\cos(\omega t +\theta_{V}) = v(t)$$