강의노트 복소수의 연산

두 복소수의 곱

실수의 경우 두 지수의 곱은 다음과 같은 관계를 만족합니다.

$$e^{a}e^{b}= e^{a+b}\;,\quad \dfrac{1}{e^{a}}= e^{-a}$$

이를 복소수의 경우로 확장하여 다음과 같은 두 개의 복소수가 있다고 하면,

$$z_{1}=\left | z_{1}\right | e^{j\phi_{1}} \;,\; z_{2}=\left | z_{2}\right | e^{j\phi_{2}}$$

두 복소수의 곱은 다음 관계를 만족합니다.

$$z_{1}z_{2}=\left | z_{1}\right |\left | z_{2}\right | e^{j(\phi_{1}+\phi_{2})} \; , \quad {\dfrac{z_1}{z_{2}}}=\dfrac{\left | z_{1}\right |}{\left | z_{2}\right |}e^{j(\phi_{1}-\phi_{2})}$$

복소수와 공액복소수의 합

복소수 $z= x + j y$ 가 있을 때, 이 복소수의 공액 복소수는 다음과 같습니다.

$$z^{*}= x - j y$$

자기 자신과 공액 복소수와의 합은 다음과 같이 구해집니다.

$$z + z^{*} = (x+jy)+(x-jy)= 2 x = 2 \mathrm{Re}(z)$$

같은 방법으로 자기 자신과 공액 복소수와의 차는 다음과 같이 구해집니다.

$$z - z^{*} =(x+jy)-(x-jy)= 2jy = 2 j\mathrm{Im}(z)$$

복소수와 공액복소수의 곱

자신의 공액과의 곱은 실수가 되고, 자신의 크기의 제곱이 됩니다.

$$z z^{*}= | z | e^{j\phi}| z | e^{- j\phi}= | z |^{2}$$

복소수의 회전

다음과 같은 복소수 $z$가 있다고 하면,

$$z = | z | e^{j\phi}$$

이 복소수 $z$에 복소수 $e^{j\theta}$를 곱하면 복소수 $z$를 시계 반대 방향으로 $\theta [\mathrm{rad}]$ 만큼 회전이동 한 것이 됩니다. 이는 다음 식으로 알 수 있습니다.

$$z e^{j\theta}= | z | e^{j\phi}e^{j\theta}= | z | e^{j(\phi +\theta)}$$

이를 복소 평면에 나타내면 다음과 같습니다.

특별한 경우로서 $\theta =\frac{\pi}{2}$인 경우 $e^{j\frac{\pi}{2}}$를 복소수 $z$에 곱하면 복소수 $z$를 반시계 방향으로 $90^{\circ}$회전하는 결과를 가져옵니다. 왜냐 하면 $e^{j\frac{\pi}{2}} = j$ 이므로

$$j z = z j = z e^{j\frac{\pi}{2}}= | z | e^{j\phi}e^{j\frac{\pi}{2}}= | z | e^{j(\phi +\frac{\pi}{2})}$$

임을 알 수 있습니다.