강의노트 복소수의 표현

복소수의 표현

동일한 복소수에 대하여 다음과 같은 2가지 서로 다른 표현 방식이 있을 수 있습니다. 복소수 $z$라고 있다고 하면, 다음은 직각좌표 표현이라고 합니다.

$$z = x + j y \quad (j =\sqrt{-1})$$

다른 표현법으로서 다음은 극좌표 표현이라고 합니다.

$$| z | = \sqrt{x^{2}+ y^{2}} \quad , \quad \phi = \tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)$$

다음 그림을 통하여 복소수의 직각좌표 표현과 극좌표 표현이 어떻게 복소 평면에 표시되는 지를 알 수 있습니다.

오일러 관계식

복소수의 관계를 나타내는 중요한 식인 오일러(Euler) 식은 다음과 같습니다.

$$e^{j\phi}=\cos\phi + j\sin\phi$$

위식에서 $e^{j\phi}$는 크기가 1이고 실수축과의 각이 $\phi$가 되는 복소수입니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\left | e^{j\phi}\right | = 1 \;,\; \angle\left\{e^{j\phi}\right\}=\phi$$

이 복소수를 복소 평면에 나타내면 다음과 같습니다.

복소수의 지수함수 표현

임의의 복소수 $z$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$z = x + j y = | z | e^{j\phi}$$

오일러 관계식을 이용하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\begin{align*} \cos \phi &= \frac{e^{j\phi}+ e^{-j\phi}}{2} \\ \sin\phi &= \frac{e^{j\phi}- e^{-j\phi}}{2 j} \end{align*}$$