강의노트 변압기의 원리

원리

primary는 1차측으로 secondary는 2차측으로 표현한다.

$v_p (t) = v_1(t)$로 $v_s (t) = v_2(t)$로 표현 가능하다.

1차측에 교류전압을 인가한다.

철심에 자속이 흐르면 파라데이 유도법칙과 같이 전압이 유도된다.

$$e_1(t) = N_1 \dfrac{d\Phi(t)}{dt} \qquad ; \qquad e_2(t) = N_2 \dfrac{d\Phi(t)}{dt}$$

두 식을 나눠주면 식(1)을 얻는다.

$$\tag{1} \dfrac{e_1(t)}{e_2(t)} = \dfrac{v_{p}(t)}{v_{s}(t)}=\dfrac{v_{1}(t)}{v_{2}(t)}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}= a$$

페이저로 표현 :

$$\dfrac{V_{1}}{V_{2}}= a \quad ; \quad \dfrac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{1}{a}$$

권선비는 전압과 전류의 크기를 결정하지만 위상과는 상관없다.

여기서 $a > 1$이면 강압 변압기이고 $a<1$이면 승압변압기가 된다.

일차측에 전압이 인가되면 전류가 입력된다. 일차측에 전류가 입력되면 암페어주회법칙을 적용하면 식(2)를 얻는다.

$$\tag{2} N_1 i_1 = \oint H dl = H l_c = \dfrac{B }{\mu}l_c = \dfrac{\Phi \times l_c}{A\mu} = {\mathcal{R}}{\Phi}$$

2차측 입장에서는 식(3)과 같이 철심에 자속이 흐르는 에너지는 2차측에 전류를 발생시킨다.

$$\tag{3} N_2 i_2 = \oint H dl = H l_c = \dfrac{B }{\mu}l_c = {\Phi}{\dfrac{l_c}{A\mu}} = {\mathcal{R}}{\Phi}$$

식(2)와 (3)의 우변은 ${\Phi}{\mathcal{R}}$은 같으므로 식(4)를 얻는다.

$$\tag{4} N_1 i_1 = N_2 i_2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{i_1}{i_2} = \dfrac{N_2}{N_1}= \dfrac{1}{a}$$

전력

$$P_{i n}= V_{1}I_{1}\cos\theta_{1} \quad ; \quad P_{out}= V_{2}I_{2}\cos\theta_{2}$$

$$\theta_{1}=\theta_{2}=\theta$$

$$P_{i n}= P_{out} \quad ; \quad Q_{i n}= Q_{out} \quad ; \quad S_{i n}= S_{out}$$

입력 전력은 $S_1 =V_1 i_1 = a V_2 \dfrac{i_2}{a} = V_2 i_2 = S_2$ 즉, 입력 전력과 출력 전력 같다는 것은 손실이 없다. 이러한 경우, 이상변압기라 한다.

임피던스 변환

$B$지점에서 바라본 임피던스는 $Z_2 = \dfrac{V_2}{I_2} = Z_l$

$A$지점에서 바라본 임피던스는 $Z_1 = \dfrac{V_1}{I_1} = \dfrac{a V_2}{I_2 / a} = a^2 \dfrac{V_2}{I_2} = a^2 Z_2 = a^2 Z_l$

$$Z_{l}=\dfrac{V_{2}}{I_{2}}$$

$$Z_{1}=\dfrac{V_{1}}{I_{1}}= \dfrac{a V_{2}}{\dfrac{I_{2}}{a}}= a^2 \dfrac{ V_{2}}{I_{2}}= a^{2}Z_{l}$$

이상변압기

이상변압기가 포함된 회로 해석

이상변압기는 전기 에너지를 전압이나 전류의 변환을 통해 변압하는 역할을 합니다. 이를 회로 해석 시에는 이상변압기가 포함된 회로를 해석하기 어렵기 때문에, 일차측 또는 이차측 중 한쪽을 등가회로로 대치하여 해결할 수 있습니다. 이를 통해 변압기가 있는 회로를 변압기가 없는 회로로 바꾸어 해석할 수 있게 됩니다. 이렇게 변압기가 없는 회로로 바꾸어 해석하면, 회로 분석 및 설계에 더욱 정확하고 효과적으로 접근할 수 있습니다.

변압기가 포함된 회로

101V 발전기가 선로 임피던스 10[$\Omega$]을 통해 10[$\Omega$]인 부하에 전력을 공급하고 있다.

이 때의 전력 손실을 구하면 다음과 같다.

$$I = \dfrac{V}{Z} = \dfrac{101}{10 + 10} = 5.05[A]$$

이 시스템의 부하 전력은 $P_l = R I^2 = 10 \times 5.05^2 = 255[W]$ , 전력선 손실은 $P_{line}=R \times I^2 = 10 \times 5.05^2 = 255[W]$이다.

위의 시스템에 권선비가 10인 승압 변압기와 강압 변압기를 설치하였다.

$$V_B = \dfrac{1}{a} \times V_A = \dfrac{1}{1/10} \times 101 = 1010[V]$$

임피던스 변환을 통해 부하를 C지점으로 변환을 하면

$$Z_{L_B} = a^2 Z_L = 10^2 \times 10 = 1000[\Omega]$$

$$I = \dfrac{V}{Z} = \dfrac{1010}{10 + 1000} = 1[A]$$

이 시스템의 부하 전력은 $P_l = R I^2 = 1000 \times 1^2 = 1000[W]$ , 전력선 손실은 $P_{line}=10 \times I^2 = 10 \times 1^2 = 10[W]$이다.

위의 간단한 예에서 선로 손실은 255[W]에서 10[W]로 손실이 25배 감소하였다. 부하에 공급하는 전력도 255[W]에서 1000[W]로 공급 전력을 늘릴 수 있었다.

• 손실이 없는 변압기를 이상변압기라 한다.

조건

• 철심은 히스테리시스 손실과 와전류 손실이 없어야 한다. 즉, 철손이 없어야 한다.
• 철심의 누설자속은 영이다. 모든 자속은 철심으로만 흐른다.
• 철심의 투자율은 무한대의 값을 가진다.
• 변압기 권선 저항은 영이다.