강의노트 페이서를 이용한 인덕턴스 요소 회로의 해석

전압 전류의 페이서 표현과 임피던스

아래와 같이 2단자망 회로망이 인덕턴스 요소로 구성되어 있다고 할 때 다음의 전압이 가해질 때 회로에 흐르는 전류를 구해봅니다.

인덕턴스 $L$ 을 가지는 소자의 전압, 전류 특성은 다음의 식으로 표현됩니다. 즉, 전압과 전류는 저항과는 달리 순시적인 비례 관계를 만족하지 않으며, 그 미분값에 비례하는 관계가 됩니다.

$$\tag{1} v_{L}(t)= L\dfrac{di_{L}(t)}{dt}$$

식$(1)$에서 전류를 페이서로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\tag{2} i_{L}(t)=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2}\mathbf I_{L}e^{j\omega t}\right]$$

식$(2)$를 식$(1)$에 대입하면 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \begin{align*} v_{L}(t) &= L\dfrac{d}{dt}\left\{\mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \,\mathbf I_{L}e^{j\omega t}\right]\right\} \\[2.5ex] &= \mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \, L \,\mathbf I_{L}\left(\dfrac{d}{dt}e^{j\omega t}\right)\right] \end{align*}$$

식$(3)$을 정리하면 다음과 같습니다.

$$\tag{4} v_{L}(t)=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2}j\omega L \, \mathbf I_{L}e^{j\omega t}\right]$$

식$(4)$에서 ,

$$\tag{5} v_{L}(t)=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2}\, \mathbf V_{L}e^{j\omega t}\right]$$

로 나타낼 수 있으므로, 식$(4)$와 식$(5)$를 비교하면 다음과 같은 관계를 알 수 있습니다.

$$\tag{6} \color{red} \mathbf V_{L}= j\omega L \, \mathbf I_{L}$$

위식을 다음과 같이 두면,

$$\tag{7} \color{red} \mathbf V_{L}= \mathbf Z_{L} \mathbf I_{L}$$

임피던스 $\color{red} \mathbf Z_{L}$을 다음 식과 같이 정의할 수 있습니다.

$$\tag{8} \color{red} \mathbf Z_{L}= j \omega L$$

이로부터 리액턴스를 정의하며, 유도성 리액턴스(Inductive Reactance)라고 합니다.

$$\tag{9} X_{L}= \omega L$$

페이서로부터 순시값으로의 변환

인덕터 전압의 페이서 값을 다시 실제값으로 변환하면 다음과 같습니다.

$$\tag{10} v_{L}(t)=\mathrm{Re}\left[\sqrt{2}\, \mathbf V_{L}e^{j\omega t}\right]$$

페이서의 정의로부터

$$\tag{11} \mathbf I_{L} = \frac{I_{\max}}{\sqrt 2} \, e^{j\theta_{I}}$$

따라서, 식$(10)$에 식$(6)$을 적용하고, 식$(11)$을 이용하여 정리하면 다음과 같습니다.

$$\tag{12} \begin{align*} v_L (t) &= \mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \, \mathbf V_{L}e^{j\omega t}\right] \\[2ex] &= \mathrm{Re}\left[\sqrt{2} \, \Big( j\omega L \, \mathbf I_{L} \Big) e^{j\omega t}\right] \\[2ex] &=\mathrm{Re} \Big[ j \omega L I_{\max}e^{j\theta_{I}} e^{j\omega t} \Big] \\[2ex] &= w L I_{\max}\cos( \omega t +\theta_{I}+\dfrac{\pi}{2}) \end{align*}$$

위의 두 결과는 동일하게, 전압은 전류보다 크기는 $\color{red} \omega L$ 배가 되고 위상은 $\color{red} \pi /2$ 만큼 앞서게 된다는 것을 알 수 있습니다.

페이서 해석의 의미

• 앞에서 정의한 페이서를 이용하면 식$(1)$과 같이 미분 형태로 표현되는 인덕터 전압과 전류의 관계가 식$(6)$과 같이 대수적 관계로 표현될 수 있습니다.
• 따라서 인덕터가 포함된 회로의 방정식을 작성할 때, 페이서를 적용하면, 회로 방정식의 형태가 미분방정식 형태로 표현되지 않고 대수방정식으로 표현되어, 이의 해를 구하는 것이 간편해 지는 결과를 가져옵니다.
• 페이서를 이용하여 구한 해로부터 실제값이 필요하다면 앞글에서 언급한 방식으로 구할 수 있으므로, 미분방정식으로 해를 구한 것과 같은 결과를 가져올 수 있습니다. 즉, 페이서와 임피던스를 이용하여 회로해석을 함으로써 훨씬 더 간결하고 쉽게 결과에 도달 할 수 있음을 알 수 있습니다.