강의노트 부분 회로 분할을 이용한 중거리 송전 선로의 4단자 정수 구성

부분 회로를 이용한 중거리 선로의 해석

앞에서 아래 그림과 같은 중거리 송전 선로의 4단자 정수를 구하였습니다. 4단자 정수를 구하는 과정에서 적용한 방법은 다소 복잡한 회로를 해석하여야 한다는 단점이 있습니다. 따라서 4단자 정수의 성질을 이용하여 이를 좀 더 쉽게 구할 수 있는 방법을 소개합니다.

위의 회로를 단순한 부분 회로로 분해하여 각 부분 회로의 4단자 정수를 구한 다음에 이를 직렬 연결한 회로를 생각함으로써 전체 회로의 4단자 정수를 구할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 $\pi\,$형 등가 회로의 각 부분은 다음과 같은 부분 회로로 나눌 수 있습니다.

위의 회로에서 전체 중거리 선로 모델은 $\mathrm{T}_1$, $\mathrm{T}_2$, $\mathrm{T}_3$의 3개의 부분 회로의 직렬 연결로 생각할 수 있습니다. 각 부분 회로의 4단자 정수를 구하는 것은 전체 회로의 4단자 정수를 구하는 것 보다 훨씬 수월합니다. 이렇게 각 부분 회로의 4단자 정수를 구한 다음 각 부분 회로가 직렬 연결된 전체 회로의 4단자 정수는 구합니다. 다음에 그 과정을 기술합니다.

직렬 회로$(\mathrm{T}_2)$의 전송 행렬과 4단자 정수

다음 그림과 같은 직렬 요소의 4단자 정수를 구합니다. 이 부분 회로는 위 그림의 $\mathrm{T}_2$에 해당하는 회로입니다.

위의 회로에서 다음을 알 수 있습니다.

$$\tag{1} \mathbf{I}_S = \mathbf{I}_R$$

KVL을 적용하면 다음과 같은 송전단 전압 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{2} \mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{Z}\, \mathbf{I}_R$$

식$(1)$과 식$(2)$를 결합하여 다음과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있습니다.

$$\tag{3} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_S \\ \mathbf{I}_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{Z} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_R \\ \mathbf{I}_R \end{bmatrix}$$

따라서 전송 행렬 $\mathbb{T}_2$를 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{4} \mathbb{T}_2 = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{Z} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

병렬 회로$(\mathrm{T}_1 , \mathrm{T}_3)$의 전송 행렬과 4단자 정수

다음 그림과 같은 병렬 요소의 4단자 정수를 구합니다. 이 부분 회로는 위 그림의 $\mathrm{T}_1$과 $\mathrm{T}_3$에 해당하는 회로입니다.

위의 회로에서 다음을 알 수 있습니다.

$$\tag{5} \mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R$$

KCL을 적용하면 다음과 같은 송전단 전압 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{6} \mathbf{I}_S =\mathbf{I}_R + \dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V}_R$$

식$(5)$와 식$(6)$를 결합하여 다음과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있습니다.

$$\tag{7} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_S \\ \mathbf{I}_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_R \\ \mathbf{I}_R \end{bmatrix}$$

따라서 전송 행렬 $\mathbb{T}_1$과 $\mathbb{T}_3$를 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{8} \mathbb{T}_1 = \mathbb{T}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{\mathbf{Y}}{2} & 1 \end{bmatrix}$$

전체 회로의 전송 행렬과 4단자 정수

위의 두 회로가 직렬 연결된 전체 회로의 4단자 정수는 전체 전송 행렬을 계산함으로써 구할 수 있습니다.

$$\tag{9} \mathbb{T}=\mathbb{T_1}\mathbb{T_2}\mathbb{T_3}$$

위의 식을 앞에서 구한 각 부분회로의 4단자 정수를 적용하여 계산하면 다음과 같습니다.

$$\tag{10} \begin{align*} \mathbb{T} &= \mathbb{T_1} \mathbb{T_2} \mathbb{T_3} \\[1ex] &= \begin{bmatrix}1 & 0 \\[1ex] \dfrac{\mathbf{Y}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& \mathbf{Z} \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\[1ex] \dfrac{\mathbf{Y}}{2}&1\end{bmatrix} \\[6ex] &= \begin{bmatrix}1& \mathbf{Z} \\[1ex] \dfrac{\mathbf{Y}}{2}& 1+\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\[1ex] \dfrac{\mathbf{Y}}{2}&1 \end{bmatrix} \\[6ex] &= \begin{bmatrix} 1+\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{2}& \mathbf{Z} \\[2ex] \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{4}\right)& 1+\dfrac{\mathbf{Y} \mathbf{Z}}{2}\end{bmatrix} \end{align*}$$

위의 결과는 앞에서 구한 결과와 동일합니다.

$$\tag{11} \color{red} \begin{align*} A &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \\[1ex] B &= \mathbf{Z} \\ C &= \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \\[1ex] D &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{align*}$$